Klassifikation von Mustern

3.8. ANALYTISCHE METHODEN (VA.1.2.2, 10.01.2004) 223
3.8.2 Problemabhängige Reihenentwicklung
Abstandskriterien
Wie in Abschnitt 3.2.1 beschränken wir uns in diesem Abschnitt auf lineare orthogonale Transformationen,
d. h. das Muster wird nach einem orthonormalen Basisvektorsystem entwickelt.
Im Unterschied zu Abschnitt 3.2.1 soll hier jedoch dasjenige System ϕ ν, ν = 1, . . . , n bestimmt
werden, das ein geeignet gewähltes Kriterium optimiert. Es wird sich zeigen, dass in
diesem Falle die Vektoren ϕ ν von den Mustern selbst, genauer von einer Stichprobe ω von
Mustern abhängen, also je nach Problem verschieden sind. Daher wird eine solche Entwicklung
auch als problemabhängige Reihenentwicklung bezeichnet. Die im Abschnitt 3.2 vorgestellten
Entwicklungen sind dagegen von den Mustern unabhängig, sie werden daher auch als
problemunabhängige Entwicklungen bezeichnet.
Zunächst sind also geeignete Kriterien anzugeben, um ein „optimales“ Vektorsystem zu berechnen.
Wenn man Muster j f entwickelt, so mag auf den ersten Blick der Erwartungswert des
quadratischen Approximationsfehlers als geeignetes Kriterium erscheinen. Es wurde aber bereits
darauf hingewiesen, dass es weniger auf gute Approximation als auf sichere Klassifikation
ankommt. Daher wird dieses Kriterium hier nicht weiter betrachtet. Statt dessen werden, wie
schon im vorigen Abschnitt erwähnt, Kriterien verwendet, die auf Postulat 3 von Abschnitt 1.3
beruhen. Da man den aus einem Muster extrahierten Merkmalsvektor als Punkt im Merkmalsraum
auffassen kann, ergibt eine Stichprobe von Mustern eine Punktmenge in diesem Raum.
Postulat 3 besagt, dass die Punkte (Muster) der gleichen Klasse dicht beisammen liegen sollen,
die verschiedener Klassen weit auseinander. Es ist intuitiv einleuchtend, dass die Klassifikation
dann besonders einfach ist. Wenn man ein Abstandsmaß definiert, so lassen sich verschiedene
Punktmengen quantitativ vergleichen und die beste – im Sinne von Postulat 3 – ermitteln.
Als Maß für den Abstand zweier Merkmalsvektoren wird das Quadrat des EUKLID-Abstands
gewählt. Damit werden die folgenden Kriterien zur Beurteilung einer Menge von Merkmalen
ω = { j c | j = 1, . . . , N} angegeben:
1. Mittlerer quadratischer Abstand aller Merkmale von allen anderen, definiert durch
s1 = 1
N 2
N
i=1
N ic j T
− c
ic j
− c . (3.8.1)
j=1
2. Mittlerer quadratischer Abstand aller Merkmale { j cκ | j = 1, . . . , Nκ} aus einer Klasse
Ωκ von den Merkmalen einer anderen Klasse Ωλ (Interklassenabstand), definiert durch
s2 =
2
k(k − 1)
k κ−1
1
Nκ Nλ
NκNλ
κ=2 λ=1 i=1 j=1
icκ
− j T
icκ
cλ − j
cλ . (3.8.2)
Mit der ersten Doppelsumme werden alle verschiedenen Paare von Klassen erfasst, nämlich
k
= k(k − 1)/2, mit der zweiten alle Abstände zwischen je einem Merkmalsvektor
2
aus je einer Klasse des betreffenden Klassenpaares. Dabei ist k, wie üblich, die Zahl der
Klassen.