Klassifikation von Mustern

332 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
Statistische Objektmodelle
An ein statistisches Objektmodell können unterschiedliche Anforderungen gestellt werden, insbesondere
dass es nur Information über die Klasse und nicht über die Objektlage enthält, oder
dass es neben der Information über die Objektklasse auch Information über die Objektlage in
der Ebene oder im Raum enthält. Die klassenbedingte Verteilungsdichte p(c|Ωκ) = p(c|aκ), in
der der Parametervektor aκ die klassenspezifischen Parameter enthält, muss daher im zweiten
Fall um einen Parametervektor θ erweitert werden, der die lagespezifischen Parameter enthält.
Dieses sind im Raum die drei Translationen im Vektor t und die drei Rotationen in der Matrix
R. Das ergibt eine Dichte der Form p(c|aκ, θ) = p(c|aκ, t, R).
Ein globaler Merkmalsvektor c, der aus einem Objekt extrahiert wird, ist bereits ein recht
spezieller Ansatz. In Abschnitt 3.7.2 wurde der globale Merkmalsvektor c zu einer Menge
lokaler Vektoren {(x, cx) T } = {(j ′ , k ′ , cj ′ ,k ′)T } verallgemeinert. Wenn man einfach den Grauwert
als lokalen „Merkmalsvektor“ cx verwendet, besteht eine direkte Analogie zur Notation
in (1.2.6), S. 13, bzw. zur Morphologie in (2.4.14), S. 111.
Damit ergibt sich als allgemeiner Ansatz für ein statistisches Objektmodell die Wahrscheinlichkeitsdichte,
ein bestimmtes Bild f, repräsentiert durch lokale Merkmale cx, zu beobachten,
wenn das Objekt der Klasse Ωκ in der Lage θ = (t, R) vorliegt, zu
p(f |Ωκ) = p {(x, cx) T }|aκ, θ
(4.2.30)
= p {(x, cx) T }|aκ, t, R .
Lokalisation und Klassifikation erfordern dann das Lösen der Optimierungsprobleme
{tκ, Rκ} = argmax
t,R
Ωκ = argmax
λ
= argmax p(Ωλ) p
λ
p {(x, cx) T }|aκ, t, R , κ = 1, . . . , k ,
p(Ωλ |{(x, cx) T })
{(x, cx) T }|aλ, tλ, Rλ
.
(4.2.31)
Das rechnerisch aufwendige Problem ist die Berechnung von Schätzwerten {tκ, Rκ} für die
Lageparameter, da dieses globale Optimierungsprobleme sind. Die Bestimmung der optimalen
Klasse Ωκ ist dagegen unproblematisch.
Die obige Formulierung ist allerdings so allgemein, dass geeignete vereinfachende Spezialisierungen
erfoderlich sind. Eine mögliche Spezialisierung ist die Annahme der statistischen
Unabhängigkeit der lokalen Merkmale, eine zweite die Beschränkung auf ein statisches Bild
zur Klassifikation, eine dritte die Faktorisierung der Dichte nach dem BAYES-Theorem über
bedingte Dichten. Damit ergeben sich z. B. die Spezialisierungen
p(f |Ωκ) = p {(x, cx) T }|aκ, t, R
=
p
x
(x, cx) T |aκ, t, R
(4.2.32)
=
p(cx) p (x|cx, aκ, t, R) (4.2.33)
x
=
p(x) p (cx |x, aκ, t, R) . (4.2.34)
x