Klassifikation von Mustern

42 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG (VK.1.3.3, 16.03.2003)
Zustand bzw. entscheiden, ob dieser als besserer Zustand akzeptiert wird. Bekannte Optimierungsverfahren
wenden dafür unterschiedliche Strategien an.
Wir beschränken uns hier auf die Angabe einiger Beispiele für die Annahme neuer Zustände.
Eines der bekanntesten Verfahren ist das simulierte Ausfrieren (“simulated annealing”),
das dem Abkühlen der Schmelze eines Festkörpers nachempfunden ist. Ein Zustand minimaler
Kosten entspricht dabei einem Erstarren in einem regelmäßigen Kristallgitter. Die mit der
Zeit tk fallende Temperatur T (tk) der Schmelze liefert die Kontrollsequenz Tk. Bei geeigneter
Vorgehensweise, insbesondere geeignetem Abkühlen, lässt sich das Erreichen eines globalen
Minimums beweisen. Die Annahme eines neuen Zustands geht aus (1.6.33) hervor. Danach
wird ein neuer Zustand sn immer dann angenommen, d. h. a = T, wenn seine Kosten φn kleiner
sind als die Kosten φc des aktuellen Zustands sc. Hat der Folgezustand größere Kosten, wird
er mit der Wahrscheinlichkeit exp[−∆φ/Tk] angenommen. Das wird dadurch erreicht, dass q
in (1.6.33) eine im Intervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable ist. Ein Vorschlag für die Wahl
der Kontrollsequenz ist Tk = T0α k , α ≈ 0, 95. Bei der Schwellwertakzeptanz (“threshold
acceptance”) werden alle Folgezustände akzeptiert, deren Kosten nicht wesentlich über denen
des aktuellen Zustands liegen. Die Kontrollsequenz bestimmt den Schwellwert für die zulässige
Kostendifferenz. Im Unterschied zur Schwellwertakzeptanz, die alle Folgezustände mit
nicht zu hoher Kostendifferenz akzeptiert, werden beim Sintflutalgorithmus (“great deluge algorithm”)
alle Folgezustände mit nicht zu hohen Kosten akzeptiert. Schließlich wird bei der
stochastischen Relaxation gar keine Kontrollsequenz verwendet. Es werden nur Folgezustände
mit geringeren Kosten akzeptiert, wodurch die Gefahr des Hängenbleibens in einem lokalen
Minimum besteht. Kriterien für die Annahme eines Folgeszustandes sind damit
⎧
∆φ = φn − φc ≤ 0 oder
T :
∆φ > 0 ∧ q ≤ exp[−∆φ/Tk]
⎪⎨
T : (φn − φc) ≤ Tk
a =
T : φn ≤ Tk
⎪⎩
T : φn ≤ φc
F : sonst .
simuliertes Ausfrieren ,
Schwellwertakzeptanz ,
Sintflut ,
stochastische Relaxation ,
(1.6.33)
Die kombinatorischen Optimierungsverfahren sind äußerst leistungsfähig, vorausgesetzt sie
werden sorgfältig an das Problem angepasst. Dieses erfordert genaue Kenntnisse der theoretischen
Grundlagen der Optimierungsverfahren und der Besonderheiten der Anwendung.
1.6.8 Dynamische Programmierung
Die dynamische Programmierung (DP) ist ein Optimierungsverfahren, bei dem eine Folge
von Entscheidungen getroffen wird. Jede Entscheidung transformiert den aktuellen Zustand in
einen neuen. Es ist eine Folge von Entscheidungen gesucht, die eine Kostenfunktion minimiert
(oder eine Gütefunktion maximiert). Wesentlich für die DP ist die Annahme, dass das Optimalitätsprinzip
gilt, welches besagt:
In einer Folge optimaler Entscheidungen ist jede Teilfolge selbst eine optimale Folge
von Entscheidungen.
Die Folge von Entscheidungen lässt sich als Pfad in einem geeignet definierten Netzwerk von
Zuständen auffassen. Das Optimalitätsprinzip bedeutet dann, dass jeder Teilpfad des optimalen