Klassifikation von Mustern

1.6. OPTIMIERUNGSVERFAHREN 41
gegeben: Zustandsmenge S = {s0, s1, s2, . . . , si, . . .},
Kostenfunktion φ(si)
bestimme eine Kontrollsequenz (Tk) mit den folgenden Eigenschaften:
Tk > 0 ∧ ∀k ≥ 0 : Tk ≥ Tk+1 ∧ limk→∞ Tk = 0
bestimme den initialen Zustand s0 und berechne φ0 = φ(s0)
setze sc = s0; φc = φ0
∀ Tk
berechne sn = erzeuge zustand(sc) und φn = φ(sn)
a = akzeptiere zustand(φc, φn, Tk) ∈ {T, F}
IF a = T /∗ d.h. wenn neuer Zustand akzeptiert wird ∗/
THEN setze sc = sn, φc = φn
/∗ neuen Zustand und Kosten übernehmen ∗/
Ergebnis: Zustand sc mit den Kosten φc ist Lösung
Bild 1.6.2: Prinzip eines Algorithmus zur kombinatorischen Optimierung. Beispiele für die Berechnung
von a gibt (1.6.33).
1.6.7 Kombinatorische Optimierung
Wir fassen unter dem Begriff kombinatorische Optimierung eine Klasse von Verfahren zusammen,
die ausgehend von einem Startwert neue Funktionswerte nach einem Zufallsmechanismus
bestimmen bis ein „akzeptables“ Minimum gefunden wurde. Sie setzen weder eine differenzierbare
Kostenfunktion g noch eine mit nur einem Minimum voraus und werden auch als
Selektionsverfahren bezeichnet. Es gibt Probleme, wie z. B. das „Problem des Handlungsreisenden“,
die NP–schwer sind, d. h. exponentielle Komplexität haben. In solchen Fällen braucht
man aber oft nicht die optimale Lösung, sondern nur eine recht gute suboptimale, die dann mit
weit geringerer Komplexität berechenbar ist. Auch dafür eignen sich kombinatorische Optimierungsverfahren.
Ein kombinatorisches Optimierungsproblem wird definiert durch eine (endliche oder unendliche)
Menge S von Zuständen, eine Kostenfunktion φ, die jedem Zustand aus S nichtnegative
Kosten zuweist, einen Startzustand s0 ∈ S, eine Vorschrift zur Generierung neuer Zustände
aus gegebenen Zuständen und ein Abbruchkriterium für die Optimierung. Die Zustände sind
im Prinzip beliebig, es können symbolische Datenstrukturen, reelle Zahlen oder eine endliche
Menge ganzer Zahlen sein. Die Kostenfunktion muss vom Anwender für den jeweiligen
Problemkreis gewählt werden. Die Generierung neuer Zustände beruht z. B. auf der zufälligen
Generierung kleiner Abweichungen vom aktuell gegebenen Zustand. Das Abbruchkriterium beruht
auf dem Erreichen eines Zustands mit minimalen Kosten und kann kombiniert werden mit
dem Verbrauch einer vorgegebenen Rechenzeit.
Das Grundschema eines kombinatorischen Optimierungsalgorithmus zeigt Bild 1.6.2. Die
dort auftretende Kontrollsequenz Tk liefert eine reelle Zahl, deren Wert die Annahme eines neu
generierten Zustands steuert. Im Prinzip muss Tk anfänglich hoch sein und dann langsam gegen
Null gehen. Damit die Optimierung nicht in einem lokalen Minimum hängen bleibt, werden gelegentlich
auch Folgezustände mit höheren Kosten akzeptiert. Prinzipiell bedeutet die monoton
mit der Zahl k der Iterationen sinkende Folge der Werte von Tk, dass die Wahrscheinlichkeit
für die Annahme eines Folgeszustands mit höheren Kosten mit zunehmender Zahl von Iterationen
sinkt. Die Funktionen erzeuge_zustand bzw. akzeptiere_zustand generieren einen neuen