Klassifikation von Mustern

236 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
lässt sich (3.8.64) in der kompakten Form schreiben
NϑνT β ν = T 2 β ν ,
Nϑνβ ν = T β ν . (3.8.66)
Damit hat man ein Eigenwertproblem zur Berechnung der Koeffizientenvektoren β ν, bei
dem die Matrix T nur die Berechnung von Skalarprodukten der transformierten Vektoren erfordert.
Wegen (3.8.53) können diese Skalarprodukte berechnet werden, ohne die Vektoren tatsächlich
zu transformieren; d. h. die Komplexität der Rechnung wird drastisch reduziert. Man
erkennt, dass man dafür einen Preis zahlt, nämlich die Einführung der N 2 Matrix T , wobei N
der Stichprobenumfang ist. Diese Vorgehensweise ist also auf kleine Stichproben beschränkt.
Nach Berechnung der Koeffizientenvektoren β ν lassen sich die eigentlich gesuchten Entwicklungskoeffizienten
cν = ψ T
ν φ(f) (3.8.67)
berechnen. Die Eigenvektoren ψ ν der Kovarianzmatrix (3.8.60) sollen auf den Betrag Eins normiert
sein. Daraus ergibt sich mit (3.8.62), (3.8.65) und (3.8.66)
1 = ψ T
ν ψ ν , ν = 1, . . . , N
= 1
N 2
N
i=1
N
j=1
= 1
βT
N 2 ν T βν = 1
N ϑν
β T
ν β ν
i T j
βν,iβν,j φ( f) φ( f)
. (3.8.68)
Das ist eine Normierungsbedingung für die Koeffizientenvektoren β ν. Im Folgenden seien diese
Vektoren gemäß (3.8.68) normiert. Mit (3.8.67) und (3.8.62) erhält man nun die gesuchten
Entwicklungskoeffizienten der nichtlinearen Hauptachsentransformation eines Musters f aus
cν = ψ T
ν φ(f) = 1
N
= 1
N
N
i=1
N
βν,i K i
f, f .
i=1
i T
βν,i φ( f) φ(f)
(3.8.69)
In (3.8.62) und damit auch in (3.8.69) wurde darauf verzichtet, den Faktor 1/N mit den Koeffizienten
βν,i zusammenzufassen. Auch hier sind nur Skalarprodukte der transformierten Vektoren
zu berechnen, was wegen (3.8.53) ohne Transformation der Muster möglich ist. Allerdings
muss man wieder über die gesamte Stichprobe summieren.
Zusammengefasst besteht die nichtlinearen Hauptachsentransformation also aus folgenden
Schritten. Es wird eine nichtlineare Transformation φ gewählt, die dem Satz von MERCER
genügt; Beispiele dafür sind (3.8.50) – (3.8.52). Man berechnet die Matrix T in (3.8.65) und
deren Eigenvektoren, die zu positiven Eigenwerten gehören. Die Eigenvektoren werden gemäß
(3.8.68) normiert. Schliesslich erhält man die Entwicklungskoeffizienten aus (3.8.69).
Es sollte beachtet werden, dass man also die Entwicklungskoeffizienten cν in (3.8.67) der
KL–Transformation auf zwei Arten berechnen kann. Zum einen über die na × na Matrix S