Klassifikation von Mustern

424 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
Minimierung einer parametrischen Kostenfunktion
Mit Φ(c, aκ) werden die „Kosten“ bezeichnet, die sich bei Einordnung des Merkmalsvektors c
in die Klasse Ωκ ergeben, wobei die Information über Ωκ im Parametervektor aκ enthalten sei.
Beispiele für Kostenfunktionen, die auf zweiten Momenten basieren, sind
Φ1(c, aκ) = (c − µ κ) 2 , aκ = µ κ ,
Φ2(c, aκ) = (c − µ κ) T Σ −1
κ (c − µ κ) , aκ = (µ κ, Σκ) ,
Φ3(c, aκ) = |Σκ| (1/n) (c − µ κ) T Σ −1
κ (c − µ κ) .
(4.8.26)
In der ersten Gleichung lassen sich die Parameter aκ = µ κ als Klassenzentren oder Prototypen
auffassen. Die mittleren Kosten bei der Klassifikation sind
V =
k
κ=1
pκ
Ωκ
Mit der Mischungsverteilungsdichte
p(c) =
Φ(c, aκ) p(c|Ωκ) dc . (4.8.27)
k
pκp(c|Ωκ) (4.8.28)
κ=1
und der Voraussetzung, dass sich die bedingten Dichten p(c|Ωκ) nicht überlappen, gilt auch
V =
k
κ=1
Ωκ
Φ(c, aκ) p(c) dc . (4.8.29)
Gesucht sind Parameter a∗ κ und Klassenbereiche Ω∗κ , sodass die mittleren Kosten V in (4.8.29)
minimiert werden, also
{a ∗ κ, Ω ∗ κ} = argmin V (aκ, Ωκ) . (4.8.30)
aκ,Ωκ
Die Zahl k der Klassen wird als bekannt vorausgesetzt. In (4.8.30) sind also sowohl die Klassenbereiche
als auch die Parameter zu verändern. Mit der charakteristischen Funktion
1 : c ∈ Ωκ
δ(c, aκ) =
(4.8.31)
0 : sonst
ergibt sich
V =
Rc
k
δ(c, aκ) Φ(c, aκ) p(c) dc . (4.8.32)
κ=1
Ähnlich wie in Abschnitt 4.1.3 wird V minimiert, wenn man jeden Merkmalsvektor c der Klasse
mit minimalem Φ(c, aκ) zuordnet, also die charakteristische Funktion durch
δ(c, aκ) = 1 , wenn Φ(c, aκ) = min
λ Φ(c, aλ) (4.8.33)