Klassifikation von Mustern

72 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
Bild 2.1.7: Zur Bestimmung einer optimalen Quantisierungskennlinie
Beweis: Die Bildung der partiellen Ableitung von (2.1.38) nach bν und Nullsetzen derselben
ergibt
∂f
∂bν
=
L
ν=1
aν+1
aν
−2(f − bν)p(f) df = 0 .
Daraus folgt unmittelbar (2.1.40). Diese Vorgehensweise ergibt für aν
∂f
∂aν
=
L
ν=2
(aν − bν−1) 2 p(aν) − (aν − bν) 2 p(aν) = 0 .
Die Werte a1 und aL+1 sind gemäß Bild 2.1.7 festgelegt. Wenn p(aν) = 0 ist, ist obige Gleichung
erfüllt, wenn
(aν − bν−1) 2 = (aν − bν) 2
gilt. Daraus folgt sofort (2.1.39), und damit ist Satz 2.5 bewiesen.
Der obige Satz zeigt, dass i. Allg. die Lage der aν, bν und damit die Quantisierungskennlinie
von der Verteilungsdichte p(f) der Funktionswerte abhängt. Man erkennt sofort, dass sich
eine lineare Quantisierungskennlinie – gekennzeichnet durch äquidistante bν und aν – nur für
gleichverteilte Funktionswerte ergibt. In diesem Falle geht nämlich (2.1.40) über in
bν = aν+1 + aν
2
. (2.1.41)
Die Quantisierungsstufen haben dann die konstante Größe
aν+1 − aν = aL+1 − a1
L
= fmax − fmin
L
. (2.1.42)
Bei nicht gleichförmiger Verteilung der Funktionswerte ergibt sich i. Allg. eine nichtlineare
Quantisierungskennlinie. Aus (2.1.38) entnimmt man, dass die Stufen eng liegen sollten, wo
häufig Funktionswerte auftreten, damit der Fehler ε klein bleibt. Eine nichtlineare Quantisierungskennlinie
lässt sich einfach dadurch erreichen, dass man die Funktionswerte zunächst an
einer nichtlinearen Kennlinie verzerrt und die verzerrten Funktionswerte dann linear quantisiert.
Natürlich muss nun nach der Dekodierung eine entsprechende Entzerrung vorgenommen werden.
In der Sprach– und Bildverarbeitung wird häufig eine logarithmische Verzerrung durchgeführt,
d. h. man kodiert nicht f(x, y) sondern log[f(x, y)].
Meistens ist eine PCM Darstellung Grundlage der digitalen Verarbeitung von Mustern, unter
Umständen auch Ausgangspunkt einer anderen Art der Kodierung. Die PCM Darstellung erhält
man nämlich relativ leicht durch geeignete Wandler, wie Mikrofon zur akustisch/elektrischen