Klassifikation von Mustern

106 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
nehmen. Da dieses eine separierbare Funktion ist, reicht die Betrachtung des eindimensionalen
Falles. Um ein Filter mit dem Parameter σ, der den Durchlassbereich bestimmt, zu realisieren,
berechnet man zunächst einen Parameter
q =
0, 98711σ − 0, 96330 : σ > 2, 5
3, 97156 − 4, 14554 √ 1 − 0, 26891σ : 0, 5 ≤ σ ≤ 2, 5
Mit q berechnet man die Filterparameter
b0 = 1, 57825 + 2, 44413q + 1, 4281q 2 + 0, 422205q 3 ,
b1 = 2, 44413q + 2, 85619q 2 + 1, 26661q 3 ,
b2 = − 1, 4281q 2 + 1, 26661q 3 ,
b3 = 0, 422205q 3 ,
b = 1 − 1
b0
. (2.3.62)
(b1 + b2 + b3) . (2.3.63)
Die eigentliche Filterung besteht aus einer Vorwärtsfilterung in aufsteigenden Indizes, bzw. von
links nach rechts, des zu filternden Musters [fj], die ein Zwischenergebnis [φj] ergibt, gefolgt
von einer Rückwärtsfilterung in absteigenden Indizes von [φj], bzw. von rechts nach links, die
das Endergebnis [hj] ergibt, nämlich
φj = bfj + 1
b0
hj = bφj + 1
b0
(b1φj−1 + b2φj−2 + b3φj−3) , (2.3.64)
(b1hj+1 + b2hj+2 + b3hj+3) . (2.3.65)
Die Genauigkeit der Approximation ist sehr gut; die Rechenkomplexität ist nicht von der Wahl
von σ abhängig, im Unterschied zu der nichtrekursiven Form; die Rechenkomplexität ist für
σ > 1 geringer als die der Realisierungen über die nichtrekursive Version, die FFT oder die
Kaskadierung von Filtern.
Auf diese Weise lassen sich auch Ableitungen der GAUSS-Funktion rekursiv realisieren.
Die erste Ableitung erhält man, indem man (2.3.64) ersetzt durch
φj = b
2 (fj+1 − fj−1) + 1
(b1φj−1 + b2φj−2 + b3φj−3) (2.3.66)
b0
und (2.3.65) unverändert lässt. Die zweite Ableitung erhält man, indem man (2.3.64) und
(2.3.65) ersetzt durch
φj = b (fj − fj−1) + 1
b0
hj = b (φj+1 − φj) + 1
b0
(b1φj−1 + b2φj−2 + b3φj−3) , (2.3.67)
(b1hj+1 + b2hj+2 + b3hj+3) . (2.3.68)
Auch die anisotrope Version des GAUSS-Filters, gegeben durch die Gleichungen
ga(u, v) =
1
exp −
2πσuσv
u2
2σ2 −
u
v2
2σ2
u
v
=
v
cos θ sin θ x
,
− sin θ cos θ y
kann rekursiv realisiert werden, wofür auf die Literatur verwiesen wird.
(2.3.69)