Klassifikation von Mustern

4.2. STATISTISCHE KLASSIFIKATOREN (VA.3.3.4, 29.09.2004) 325
Vereinfacht man weiter zu Σκ = σ 2 κI, so ergibt sich
p(c|Ωκ) =
1
(2πσ 2 ) n exp
− 1
2σ 2
n
(cν − µκ,ν) 2
. (4.2.7)
ν=1
Die Zulässigkeit solcher Vereinfachungen ist von Fall zu Fall zu prüfen.
Die Maximum-likelihood-Schätzwerte (s. u.) von Mittelwert und Kovarianzmatrix einer
Normalverteilung sind
µ κ µ κ = 1
Nκ
Σκ Σκ = 1
Nκ
Nκ
j
cκ ,
j=1
Nκ
j=1
j cκ ∈ ωκ , (4.2.8)
( j cκ − µ κ)( j cκ − µ κ) T . (4.2.9)
Im Folgenden wird vielfach nicht zwischen den durch (4.2.4) und (4.2.5) definierten Größen
und ihren mit (4.2.8) und (4.2.9) berechneten Schätzwerten unterschieden. Die zuverlässige
Schätzung der Kovarianzmatrix erfordert einen Stichprobenumfang von etwa Nκ = 1000 bis
10.000 Mustern je Klasse. Wenn eine klassifizierte Stichprobe ω gemäß (4.2.1) mit Nκ Elementen
j cκ ∈ ωκ, j = 1, . . . , Nκ, κ = 1, . . . , k gegeben ist, bereitet die Berechnung der Schätzwerte
kein Problem. Mit den ermittelten Schätzwerten wird so gerechnet als seien sie die richtigen
Werte.
Andere Verteilungen
Es gibt nur wenige andere n–dimensionale parametrische Familien von Dichten, wie die t–
Verteilung, die DIRICHLET-Verteilung und die multinomiale Verteilung. Dazu kommen die
n–dimensionalen Erweiterungen von eindimensionalen Funktionen sowie die sphärisch symmetrischen
Verteilungen. Ist p(c) = α1f(c) eine eindimensionale Dichte mit der normierenden
Konstante α1, so ist
p(c) = αn|W | 1/2 (c
T 1/2
f − µ) W (c − µ) (4.2.10)
eine n–dimensionale Erweiterung. Die Matrix W = βΣ −1 ist durch die Kovarianzmatrix gegeben.
Die Konstanten αn und β sind so zu wählen, dass das Integral über p(c) den Wert Eins
hat. Da alle Dichten vom Typ (4.2.10) unimodal sind und eine quadratische Form wie in (4.2.3)
enthalten, ergeben sie nur eine geringe Verallgemeinerung der Normalverteilungen.
Wir erwähnen weiterhin die n-dimensionalen Exponentialverteilungen
p(c|a) =
( n
ν=1 aν) exp −a T c : cν > 0 , ν = 1, . . . , n
0 : sonst
, (4.2.11)
wobei a = (a1, . . . , an) T , aν > 0 , ν = 1, . . . , n ein Parametervektor ist, sowie die eindimensionale
Gammaverteilung
p(c|β, γ, µ) = 1
γ−1
x − µ
x − µ
exp − , x ≥ µ; β, γ > 0 (4.2.12)
βΓ(γ) β
β
mit dem Lageparameter µ, dem Formparameter γ und dem Skalierungsparameter β; eine n–
dimensionale Verallgemeinerung beruht auf der Annahme statistischer Unabhängigkeit der
Komponenten des Merkmalsvektors wie in (4.2.13). Die standard Gammaverteilung hat die
Parameter µ = 0, β = 1. Der Einfluss des Formparameters γ geht aus Bild 4.2.2 hervor.