Klassifikation von Mustern

226 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Vektoren. Es bleibt also zu zeigen, dass s1, s2, s3 die Ausnutzung dieser Eigenschaft gestatten.
Dieses wird hier am Beispiel von s2 gezeigt. Man kann das in Satz 3.8 enthaltene Ergebnis auch
für kontinuierliche Funktionen f(x) ableiten. Für einen Vektor f von Abtastwerten erhält man
durch Einsetzen von (3.2.2) in (3.8.2)
s2 =
2
k(k − 1)
k κ−1
1
Nκ Nλ
NκNλ
κ=2 λ=1 i=1 j=1
if T
κΦTΦ i f κ + j f T
λΦTΦ j f λ − j f T
λΦTΦ i f κ − i f T
κΦTΦ j f λ
Mit der für symmetrische Matrizen Q gültigen Beziehung
x T Qx = Sp (Qxx T ) , (3.8.22)
wobei Sp (A) die Spur der Matrix A ist, also die Summe der Hauptdiagonalelemente, gilt
s2 =
2
k(k − 1)
k κ−1
1
Nκ Nλ
NκNλ
κ=2 λ=1 i=1 j=1
Sp Φ T Φ ( i f κ i f T
κ + j f λ j f T
λ − j f λ i f T
κ − i f κ j f T
λ ) .
Berücksichtigt man, dass mit (3.8.11)
1
NκNλ
1
NκNλ
Nκ Nλ
i=1
i=1
j=1
Nκ Nλ
j=1
i f κ i f T
κ
ist, so vereinfacht sich s2 zu
s2 =
2
k(k − 1)
= 1
Nλ
Rκ = Rκ ,
Nλ
j=1
i f κ j f T
λ = mκm T λ (3.8.23)
κ
λ
Sp Φ T Φ(Rκ + Rλ − mκm T λ − mλm T κ ) .
Für die Matrix Φ in (3.8.7) mit n Zeilen und M Spalten sowie für eine M × M Matrix Q gilt
Sp (Φ T ΦQ) =
n
ϕ T ν Qϕν , (3.8.24)
ν=1
was beispielsweise durch Vergleich der Summen auf der linken und rechten Seite dieser Beziehung
leicht zu zeigen ist. Damit vereinfacht sich s2 weiter zu
n
s2 = ϕ T
2
ν
(Rκ + Rλ − mκm
k(k − 1)
T λ − mλm T
κ) ϕν .
ν=1
Eine weitere Vereinfachung erhält man mit der Beziehung
k κ−1
(Rλ + Rκ) = (k − 1)
κ=2 λ=1
κ
λ
.
k
Rκ . (3.8.25)
κ=1