Klassifikation von Mustern

2.3. LINEARE OPERATIONEN (VA.1.4.2, 04.12.2005) 89
Satz 2.8 Wenn man auf den Eingang eines verschiebungsinvarianten linearen Systems mit
der Impulsantwort [gjk] ein Muster [fjk] gibt, so erhält man die Ausgangsgröße [hjk] aus der
diskreten Faltung von [fjk] und [gjk] zu
hjk =
=
∞
∞
µ=−∞ ν=−∞
∞
∞
µ=−∞ ν=−∞
fµν gj−µ,k−ν
Zur Abkürzung wird die Faltung auch symbolisch durch
fj−µ,k−ν gµν j, k = 0, ±1, ±2, . . . (2.3.11)
h = f ∗ g , bzw. [hjk] = [fjk] ∗ [gjk] (2.3.12)
dargestellt, wobei die Elemente hjk der Folge [hjk] durch (2.3.11) gegeben sind.
Beweis: Der Beweis des ersten Teils von (2.3.11) folgt in offensichtlicher Weise aus dem
Beweis von Satz 2.7, insbesondere aus (2.3.8). Der zweite Teil ergibt sich, wenn man j − µ =
l, k − ν = m setzt.
Die Rechnungen wurden hier für Folgen von Abtastwerten durchgeführt. Für kontinuierliche
Funktionen ergeben sich analoge Beziehungen. Insbesondere ist die Faltung einer kontinuierlichen
Funktion f(x, y) mit einer kontinuierlichen Gewichtsfunktion g(x, y) gegeben durch
das Faltungsintegral
h(x, y) =
∞
∞
−∞ −∞
f(u, v)g(x − u, y − v) du dv . (2.3.13)
Dieses Integral steht in direkter Analogie zur Faltungssumme (2.3.11).
Für konkrete Rechnungen ist zu berücksichtigen, dass Muster i. Allg. nur in einem endlichen
Intervall definiert sind oder auf ein solches mit genügender Genauigkeit beschränkt werden können;
das gleiche gilt für die Impulsantwort. Damit reduzieren sich die unendlichen Summen in
(2.3.11) auf endliche. Das Muster f(x, y) werde wie in (2.1.1) mit MxMy Abtastwerten dargestellt,
die Impulsantwort mit mxmy. Man kann sich vorstellen, dass außerhalb des in (2.1.2)
gegebenen Bereiches (x0, x1; y0, y1) das Muster identisch Null ist. Damit ergibt sich für (2.3.11)
hjk =
Mx−1
µ=0
My−1
ν=0
bzw. die äquivalente Form
hjk =
fµνgj−µ,k−ν
j = 0, 1, . . . , Mx + mx − 2 ; k = 0, 1, . . . , My + my − 2 , (2.3.14)
mx−1
µ=0
my−1
ν=0
fj−µ,k−νgµν
j = 0, 1, . . . , Mx + mx − 2 , k = 0, 1, . . . , My + my − 2 .
(2.3.15)
Da normalerweise mx < Mx, my < My sein wird, ist (2.3.15) vorzuziehen. Wenn man also
zwei Funktionen f und g mit MxMy und mxmy Abtastwerten faltet, so hat das Ergebnis