Klassifikation von Mustern

84 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
ein. Berücksichtigt man µ = µ1 p(Ω l 1) + µ2 p(Ω l 2), so geht (2.2.15) über in
G (1)
l
=
l p(Ω1 )µ − µ(l) 2 p(Ωl 1) 1 − p(Ωl . (2.2.18)
1)
Damit lässt sich G (1)
l für l = 1, . . . , L einfach berechnen und der Wert l = l ∗ bestimmen, für den
G (1)
l
maximiert wird. Es genügt, G(1)
l für die Werte von l zu berechnen, für die p(Ω l 1)p(Ω l 2) > 0
ist. Man kann zeigen, dass die Wahl von θ gemäß (2.2.16) auch in dem Sinne optimal ist, dass
man das Muster mit zwei Grauwerten mit minimalem mittleren quadratischen Fehler approximiert.
Wenn man mehrere verschiedene Objekte oder Objektteile mit unterschiedlichen Grauwerten
vom Hintergrund trennen will, so ist die Einführung mehrerer Schwellwerte eine naheliegende
Verallgemeinerung von (2.2.1). Das Ergebnis ist dann eine Bildmatrix h mit mehr als
zwei Grauwerten. Die Quantisierung erfolgt gemäß
hjk = ν − 1 wenn
bl(ν−1) < fjk ≤ bl(ν) , ν = 1, 2, . . . , m ;
bl(0) = b1 − 1 ; bl(m) = bL .
(2.2.19)
Mit m = 2 und θ = bl(1) geht (2.2.19) offensichtlich in (2.2.1) über. Man kann auch hier
versuchen, die bl(j), j = 1, . . . , m−1 aus den Minima des Grauwerthistogramms zu bestimmen,
vorausgesetzt es gibt m − 1 genügend ausgeprägte Minima. Im Prinzip lässt sich auch die
Vorgehensweise von (2.2.9) – (2.2.16) anwenden, da sich (2.2.10) – (2.2.14) sofort auf mehr als
zwei Klassen verallgemeinern lassen. Aus (2.2.15) erhält man nämlich mit (2.2.14)
G (1)
l = p(Ωl 1 ) (µ1 − µ) 2 + p(Ω l 2 ) (µ2 − µ) 2 . (2.2.20)
Eine direkte Verallgemeinerung auf mehrere Schwellwerte ist dann
G (1)
l(1),...,l(m−1) =
m
j=1
p(Ω l(j)
j ) (µj − µ) 2 , (2.2.21)
und die Schwellwerte ergeben sich analog zu (2.2.16) aus den Werten l ∗ (1), . . . , l ∗ (m − 1) für
die G in (2.2.21) maximiert wird. Allerdings wird die erforderliche Suche mit wachsendem m
immer aufwendiger, sodass das Verfahren auf m = 2 bis m = 4 beschränkt sein dürfte. In der
Regel werden ohnehin nur ein oder zwei Schwellwerte verwendet, d. h. m ≤ 3 in (2.2.19).
Eine Erweiterung des obigen Ansatzes zur Berechnung optimierter Schwellwerte ist die
Hinzunahme der Streuungen σ1, σ2 der Grauwerte der beiden Klassen
σ 2 1 =
σ 2 2 =
l
ν=1
L
ν=l+1
(bν − µ1) 2 p(f = bν |Ω l 1 ) ,
(bν − µ2) 2 p(f = bν |Ω l 2 ) . (2.2.22)