Klassifikation von Mustern

88 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
so ist die Impulsantwort definitionsgemäß die Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls
am Eingang. Es ist also
gjk,µν = T {δj−µ,k−ν} . (2.3.4)
In (2.3.4) kommt zum Ausdruck, dass die Impulsantwort i. Allg. davon abhängt, an welchem
Ort (bzw. zu welcher Zeit) der Impuls aufgebracht wird. Die Bedeutung der Impulsantwort liegt
darin, dass man mit ihr die Ausgangsgröße h für jede Eingangsgröße f berechnen kann. Das
ist die Aussage von
Satz 2.7 Für ein Eingangssignal f = [fjk] ergibt sich das Ausgangssignal h = [hjk] aus
der Gleichung
hjk =
∞
∞
µ=−∞ ν=−∞
fµνgjk,µν . (2.3.5)
Beweis: Die Gleichung folgt unmittelbar aus (2.3.1) – (2.3.4). Man kann nämlich eine unendliche
Folge von Abtastwerten
f = [fjk | j, k = 0, ±1, ±2, . . .] (2.3.6)
mit dem Einheitsimpuls auch als Summe
f =
∞
∞
µ=−∞ ν=−∞
fµνδj−µ,k−ν , j, k = 0, ±1, . . . (2.3.7)
schreiben. Für die Stelle (j, k) der Ausgangsgröße h gilt dann mit (2.3.1), (2.3.2)
hjk = T {[fjk]}
=
fµνT {δj−µ,k−ν} , (2.3.8)
µ
ν
und daraus ergibt sich mit (2.3.4) sofort (2.3.5). Damit ist Satz 2.7 bewiesen.
Die Verwendung einer Impulsantwort gemäß (2.3.4) ist recht unhandlich, da die Speicherung
von g für alle Indizes (j, k; µ, ν) erforderlich ist. Bei der speziellen Klasse der verschiebungsinvarianten
Systeme bewirkt jedoch eine Verschiebung des Einheitsimpulses lediglich
eine entsprechende Verschiebung der Impulsantwort, es ist also
T {δj−µ,k−ν} = gj−µ,k−ν . (2.3.9)
In diesem Fall kann man ohne Einschränkung der Allgemeinheit den Impuls stets an der Stelle
µ = ν = 0 ansetzen und erhält die Impulsantwort des verschiebungsinvarianten Systems zu
gjk = T {δjk} . (2.3.10)
Die Systemreaktion ergibt sich nun aus dem folgenden Satz.