Klassifikation von Mustern

376 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
4.4.4 Zur numerischen Berechnung der Parametermatrix
Wie bereits in Abschnitt 4.4.3 erwähnt wurde, ist es nicht zweckmäßig, die optimale Parametermatrix
in Satz 4.16 durch Inversion der Matrix E ϕ(c)ϕ T (c) zu berechnen, sondern diese
iterativ mit dem GAUSS–JORDAN-Algorithmus zu ermitteln; dessen Grundzüge werden daher
zunächst kurz vorgestellt.
Prinzip des GAUSS–JORDAN-Algorithmus
Gegeben seien quadratische Matrizen E, F , G. Wenn für das Produkt
E F = G (4.4.38)
gilt, dass G eine Einheitsmatrix ist, so ist F definitionsgemäß die inverse Matrix zu E. Ein
Element gij der Matrix G erhält man aus
gij =
N
eikfkj . (4.4.39)
k=1
Aus dieser Gleichung folgen drei Beobachtungen, die die drei wesentlichen Operationen des
Verfahrens ergeben:
1. Die Elemente einer Zeile von F ändern sich nicht, wenn man jedes Element der korrespondierenden
Zeilen von E und G mit einer Konstanten r multipliziert. Wählt man
in der i-ten Zeile r = 1/eii, so wird das entsprechende Hauptdiagonalelement auf Eins
normiert.
2. Die Elemente einer Zeile von F ändern sich nicht, wenn man zu der Zeile i in den Matrizen
E und G die jeweilige Zeile k aus diesen Matrizen addiert. Damit lassen sich alle
Elemente einer Spalte der Matrix E zu Null machen.
3. Die Elemente von G ändern sich nicht, d.h. (4.4.39) bleibt unverändert, wenn man die
Spalten j1 und j2 von E vertauscht und gleichzeitig die Zeilen j1 und j2 von F . Damit
kann man sicherstellen, dass in der Hauptdiagonale immer das größte Element aus der
aktuellen Zeile steht, dass also in Schritt 1 die Division durch eine sehr kleine Zahl oder
gar durch Null vermieden wird.
Die obigen Schritte 1 und 2 sind bereits hinreichend, um die Matrix E sukzessive in eine
Einheitsmatrix I zu transformieren a). Der Schritt 3 wird als Pivotisierung bezeichnet und
empfiehlt sich stets; er dient der numerischen Stabilität b). Statt der Pivotisierung nach dem maximalen
Zeilenelement sind aus Sicht der Musterklassifikation auch andere Strategien denkbar.
Da, wie erwähnt, G mit einer Einheitsmatrix initialisiert wurde, F in diesem Falle die inverse
von E ist, d. h. F = E −1 , und F durch die obigen Umformungen nicht verändert wurde, enthält
nun die umgeformte Matrix G ′ die gesuchte inverse Matrix von E, da die Ausgangsgleichung
(4.4.38) E F = I umgeformt wurde zu I F = G ′ .
Die schrittweise Umformung der Matrix E in die Einheitsmatrix I wird auch als Normierung
bezeichnet. Die j-te Spalte von E heißt normiert, wenn sie eine Eins in der j-ten Komponente
enthält und sonst Nullen.
Für die Auswahl der zu normierenden Spalte, d. h. die Bestimmung des Pivotelementes zum
Zwecke der Berechnung der optimalen Parametermatrix A ∗ des Polynomklassifikators, gibt es
folgende Kriterien: