Klassifikation von Mustern

4.2. STATISTISCHE KLASSIFIKATOREN (VA.3.3.4, 29.09.2004) 341
Es ist bekannt, dass es eine hinreichende Statistik für die n-dimensionale Normalverteilungsdichte
gibt (nämlich Mittelwertsvektor und Korrelationsmatrix) und dass es schon für die
bewichtete Summe zweier eindimensionaler Normalverteilungen keine hinreichende Statistik
gibt.
Setzt man (4.2.67) in (4.2.63) ein, ergibt sich
p(aκ|ωκ) =
=
p(aκ) p( Nκcκ|aκ) g(s, aκ) h(ω ′ κ )
p(aκ) p(
Ra
Nκcκ|aκ) g(s, aκ) h(ω ′ κ ) daκ
p(aκ) p( Nκ
Ra
cκ|aκ) g(s, aκ)
p(aκ) p( Nκcκ|aκ) g(s, aκ) daκ
. (4.2.68)
Die vorher beobachtete Stichprobe ω ′ = { ϱ cκ|ϱ = 1, . . . , Nκ − 1} wird also in (4.2.68) nicht
mehr gebraucht, sondern nur die hinreichende Statistik s, deren Dimension l unabhängig vom
Stichprobenumfang Nκ ist.
Eine a priori Verteilungsdichte p(aκ) wird als selbstreproduzierende Verteilungsdichte
bezeichnet, wenn
p(aκ| 1 cκ) =
p( 1 cκ|aκ)p(aκ)
p( 1 cκ|aκ)p(aκ) daκ
(4.2.69)
eine Funktion aus der gleichen parametrischen Familie wie p(aκ) ist. Nach Beobachtung des
ersten Musters ist (4.2.69) die a posteriori Dichte von aκ gemäß (4.2.63). Damit ist auch für
Nκ > 1 die Dichte p(aκ|ωκ) eine Funktion aus der gleichen parametrischen Familie wie p(aκ),
und das Integral im Nenner von (4.2.63) muss nur einmal berechnet werden.
Die rekursive Berechnung von MAPS der Parameter µ κ, Σκ einer Normalverteilungsdichte
ist in der Literatur ausführlich behandelt. Hier werden nur die wichtigsten Ergebnisse der zum
Teil längeren Rechnungen angegeben. Es ist bekannt, dass der Schätzwert für µ κ eine Normal-
verteilung hat, dass der Schätzwert für Lκ = Σ −1
κ eine WISHART-Verteilungsdichte hat und
dass beide statistisch unabhängig sind. Es ist daher naheliegend, als a priori Dichte
p(aκ) = p(µ κ, Lκ) = N (µ κ|µ 0 , Φ0) W(Lκ|ν0, K0) (4.2.70)
anzunehmen. Dabei ist N (µ κ|µ 0 , Φ0) eine Normalverteilungsdichte (4.2.3), S. 324, mit dem
Mittelwert µ 0 und der Kovarianzmatrix Φ0 in (4.2.72), und die WISHART-Verteilung ist
W(Lκ|ν0, K0) = αn,ν0 ν0
2 K0
(ν0−1)/2
|Lκ| (ν0−n−2)/2
exp − 1
Sp (ν0LκK0)
2
; (4.2.71)
sie ist definiert in dem Bereich des n(n + 1)/2–dimensionalen Raumes, in dem die n × n
Matrix Lκ positiv definit ist, und sonst Null. Die Matrix K 0 ist ein Anfangswert für Σκ und
die Konstante ν0 > n ein Maß für die Konzentration der Dichte um K −1
0 , d. h. dafür wie
zuverlässig der Anfangswert K0 für Σκ ist. Die Konstante αn,ν0 normiert das Integral auf Eins.
Entsprechend enthält µ 0 eine Annahme über µ κ und Φ0 eine Annahme über die Konzentration
von µ 0 um µ κ. Zur Vereinfachung wird
Φ0 = 1
Σκ =
β0
1
(β0Lκ)
(4.2.72)