Klassifikation von Mustern

350 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
1
c1 .
cn
✲
a T
1 c
u ′ 1 (c)
✲
u
c c Ωκ
′ 2(c)
c1c1
c2c1
c2c2
.
c3c1
.
.
.
u
cncn
′ max
λ
k(c)
uλ
a T
2 c
a T
k c
✲
✲
✲ ✲ ✲
✲
✲
Bild 4.2.5: Die Struktur des Klassifikators, der für normalverteilte Merkmale die Fehlerwahrscheinlichkeit
minimiert, gemäß (4.1.33), S. 314, (4.2.122)
c ist für alle k Prüfgrößen gleich, die Vektoren aλ werden in der Lern- oder Trainingsphase
des Klassifikators berechnet, als Parameter gespeichert und dann nicht mehr oder nur selten
verändert.
Gemäß (4.2.116) liegen Punkte mit gleichen Werten von uλ auf Hyperellipsoiden des Rc.
Wenn man nur zwei Komponenten cν, cµ des Merkmalsvektors betrachtet, ergeben sich Ellipsen,
die man zur Veranschaulichung der Verhältnisse graphisch darstellen kann. Die Trennfläche
zwischen zwei Klassen Ωκ und Ωλ ergibt sich aus der Gleichung
uλ(c) = uκ(c) . (4.2.123)
Ein Beispiel wurde bereits in Bild 3.8.7 gezeigt.
Sind die bedingten Kovarianzmatrizen Diagonalmatrizen
Σλ = diag(σλ1, σλ2, ..., σλn) , (4.2.124)
so erhält man für die Prüfgrößen aus (4.2.118)
n (cν − µλν) 2
+ 2 ln [pλ] −
u ′ λ (c) = −
ν=1
σλν
n
ln [2πσλν] . (4.2.125)
Im Wesentlichen handelt es sich also um einen bewichteten Abstand des Merkmalsvektors
vom Klassenzentrum µ λ. Da (4.2.125) numerisch wesentlich einfacher zu berechnen ist als
(4.2.122), wird diese Form oft auch als suboptimaler Klassifikator verwendet. Vielfach wird
sogar nur der EUKLID-Abstand
u ′ λ(c) = −
n
(cν − µλν) 2
ν=1
ν=1
(4.2.126)
verwendet. Da man (4.2.126) auch in der Form
n
c 2 ν +
n
) (4.2.127)
u ′ λ (c) = −
ν=1
ν=1
(2cνµλν − µ 2 λν
schreiben kann, ist die Lage des Maximums der Prüfgrößen von c 2 ν unabhängig, sodass sich
eine weitere Vereinfachung der Berechnung auf Prüfgrößen, die linear bezüglich cν sind, ergibt.
Wenn man bereits mit den einfacheren Formen (4.2.127) oder (4.2.125) zufriedenstellende