Klassifikation von Mustern

178 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
ist.
3.2.5 WALSH-Transformation
Die Basisvektoren ϕ ν der DFT in (3.2.15) lassen sich wegen der bekannten Beziehung
exp[i α] = cos α + i sin α (3.2.51)
in einen Real- und einen Imaginärteil mit der geraden Funktion cos α und der ungeraden Funktion
sin α zerlegen. Eine ähnliche Entwicklung erlauben die WALSH-Funktionen, die aber wegen
ihrer auf ±1 beschränkten Werte weniger Rechenaufwand erfordern.
Definition 3.4 Im kontinuierlichen Falle sind die WALSH-Funktionen rekursiv definiert durch
wal[x; 2j + p] = (−1) [j/2]+p
wal 2 x + 1
; j + (−1)
4
j+p
wal 2 x − 1
wal[x; 0] =
; j ,
4
1
1
1 : − ≤ x ≤ 2 2
(3.2.52)
0 : sonst .
In (3.2.52) ist j = 0, 1, 2, . . . , p = 0, 1 und [j/2] die größte ganze Zahl, die nicht größer als
beschränkt. Setzt man
j/2 ist. Die Funktionen sind auf das Intervall − 1
2
x
ϕν(x) = wal ; ν
x0
≤ x ≤ 1
2
, (3.2.53)
so sind die ϕν(x) auf das Intervall − x0
x0 ≤ x ≤ beschränkt. Einige Funktionen sind in
2 2
Bild 3.2.6 dargestellt. Ohne Beweis wird angemerkt, dass die WALSH-Funktionen orthonormal
sind, d. h. es gilt
1
2
− 1
2
wal[x; j] wal[x; k] dx =
1 : j = k
0 : sonst
. (3.2.54)
Für die digitale Verarbeitung wurden verschiedene diskrete Versionen vorgeschlagen, die
sich teilweise nur in der Reihenfolge der Funktionen unterscheiden. Hier wird lediglich die sogenannte
HADAMARD geordnete WALSH–HADAMARD-Transformation (WHT) erläutert. Die
Vektoren ϕν erhält man aus den WALSH-Funktionen von Bild 3.2.6, indem man das Intervall
(− 1 1 , 2 2 ) mit M = 2q Werten abtastet, wobei es nur Abtastwerte ±1 gibt. Die Transformationsmatrix
der Größe M 2 lässt sich rekursiv aus der HADAMARD-Matrix
1 1
H2 =
(3.2.55)
1 −1
berechnen, die übrigens gleich W ′
2 in (3.2.42) ist. Es gilt
HM = H2 ⊗ H M
2
, M = 2 q
= H2 ⊗ H2 ⊗ . . . H 2
q Faktoren
. (3.2.56)