Klassifikation von Mustern

3.2. ORTHOGONALE REIHENENTWICKLUNG (VA.1.2.2, 07.02.2004) 175
Tangente an die Kontur als Funktion α(l) der Bogenlänge l dar, wie es in Bild 3.2.4a,b angedeutet
ist. Im ersteren Falle entwickelt man u(t) in eine FOURIER-Reihe, deren Koeffizienten aν
allerdings vom Startpunkt, sowie von Translation, Rotation und Skalierung abhängen. Dagegen
sind die Koeffizienten
bµν = aν/κ 1+µa µ/κ
1−ν
a (µ+ν)/κ
1
(3.2.43)
von diesen Transformationen unabhängig, wenn κ der gemeinsame Faktor von µ und ν ist. Im
letzteren Falle geht man von α(l) zunächst auf eine normierte Funktion
α ∗ (t) = α tL
+ t , 0 ≤ t ≤ 2π (3.2.44)
2π
über, wobei L die Bogenlänge der geschlossenen Konturlinie ist. Damit sind alle ebenen, einfach
geschlossenen Kurven mit Startpunkt in die Klasse der in (0, 2π) periodischen, gegen
Translation, Rotation und Skalierung der Kontur invarianten Funktionen abgebildet. Die Entwicklung
von α ∗ in eine FOURIER-Reihe ergibt
α ∗ (t) = α0 +
= α0 +
∞
(an cos[nt] + bn sin[nt])
n=1
∞
An cos[nt − βn] . (3.2.45)
n=1
Wenn man die Kontur mit einem Polygon approximiert, z. B. mit dem in Abschnitt 3.10 beschriebenen
Verfahren, so erhält man mit den Bezeichnungen von Bild 3.2.4c
α0 = −π − 1
L
an = − 1
nπ
bn = − 1
nπ
j=1
m
lj∆αj , mit lj =
j=1
j
∆li ,
i=l
m
2πnlj
∆αj sin ,
L
j=1
m
2πnlj
∆αj cos . (3.2.46)
L
Man kann zeigen, dass man mit α0, an, bn oder mit den als FOURIER-Deskriptoren bezeichneten
Größen α0, An, βn die Kontur rekonstruieren kann, wenn noch L, α0, P0 bekannt sind.
3.2.3 Gefensterte FOURIER-Transformation
Die DFT, bzw. ihr kontinuierliches Analogon, die FOURIER-Transformation (2.3.20), S. 92,
wird auf den gesamten Definitionsbereich eines Musters angewendet. Das bedeutet, dass man
eine Menge globaler Merkmale berechnet. Wenn sich ein kleines Detail im Muster ändert, ändern
sich alle Merkmale, gleichgültig ob man z. B. ein Sprachsignal von 10msec oder 10sec
Dauer oder ein Bild der Größe 64 × 64 oder 4096 × 4096 Bildpunkte hat. Um dieses zu vermeiden,
wird oft auch die gefensterte FOURIER-Transformation verwendet. Dabei wird eine Fensterfunktion
w(x, y), die außerhalb eines Intervalls 0 ≤ x, y ≤ xm, ym identisch verschwindet,
bzw. wjk, die für Indizes j, k < 0 und j, k ≥ Nx, Ny Werte identisch Null hat, verwendet. Sie hat