Klassifikation von Mustern

44 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG (VK.1.3.3, 16.03.2003)
↑
Z
ustand
I
j
i
2
1
✉ ✉ ✉
❅
❅❅❅❅❅❘
✉ ✉ ✉ ✉
✉ ✉ ✉
✒
✲ ϕ(n, j)
r(i, j)
ϕ(n − 1, i)
✉ ✉
✉ ✉ ✉✂ ✉ ✉
✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✍
0 1 n − 1 n N − 1
Rechenschritt −→
Bild 1.6.4: Im Rechenschritt n werden rekursiv die minimalen Kosten berechnet, um vom Startzustand
in den Zustand Sj zu gelangen
gegeben: Menge S der Zustände, Kosten r(i, j) beim Übergang von Si nach Sj,
Anfangszustand S1, Endzustand SI
gesucht: Pfad minimaler Kosten vom Anfangs– zum Endzustand
initialisiere: Kosten im Anfangszustand ϕ(0, 1) = 0, ϕ(0, i) = ∞, i = 2, . . . , I
FOR n = 1, . . . , N − 1 DO:
FOR i = 1, . . . , I DO:
ϕ(n, j) = mini {r(i, j) + ϕ(n − 1, i)}
ϕmin = ϕ(N − 1, I)
Bild 1.6.5: Prinzip des Algorithmus für die Berechnung minimaler Kosten mit der dynamischen
Programmierung
die Kosten beim Übergang von Si nach Sj mit r(i, j), so ist die wesentliche Rekursionsgleichung
zur Berechnung der Kosten
ϕ(n, j) = min
i {r(i, j) + ϕ(n − 1, i)} . (1.6.34)
Wegen des Optimalitätsprinzips hängt sie nur von den Kosten ϕ zur Erreichung der Zustände im
Schritt n−1 und den Übergangskosten r ab, aber nicht auch noch von Kosten zur Erreichung von
Zuständen in den Rechenschritten n−2, n−3, . . .. Daraus resultiert ein einfacher Algorithmus,
der in einer Doppelschleife über alle Zustände und über alle Rechenschritte zur Berechnung der
Kosten geht, wie Bild 1.6.5 zeigt.