Klassifikation von Mustern

2.2. SCHWELLWERTOPERATIONEN (VA.1.1.2, 27.12.2003) 81
Minimum im Grauwerthistogramm
In Bild 2.2.3 ist ein häufig verwendetes Verfahren zur Anpassung der Schwelle θ an das beobachtete
Muster gezeigt. Man ermittelt für die gemessenen Grauwerte deren Grauwerthistogramm.
Es ist zu erwarten, dass dieses bei einfachen Objekten mit einigermaßen homogener
Oberfläche vor einem einigermaßen homogenen Hintergrund zwei relative Maxima hat, d. h.
man erhält in etwa ein bimodales Histogramm. Durch die Verwendung eines gewichteten Histogramms
wird, wie oben erwähnt, in solchen Fällen die Bimodalität i. Allg. ausgeprägter. Das
eine Maximum wird von Bildpunkten des Objekts verursacht, das andere von denen des Hintergrunds.
Als Schwelle wählt man das relative Minimum zwischen diesen Maxima. Wenn die Lage
des Minimums nicht eindeutig ist, wie in Bild 2.2.3c, so kann man z. B. den diskreten Grauwert
wählen, der der mittleren Lage des Minimums am nächsten liegt und der dem Mittelwert
zwischen den beiden Maxima am nächsten liegt. Modifikationen des Verfahrens ergeben sich
insbesondere durch die Wahl des lokalen Bildausschnittes, in dem das Histogramm berechnet
wird.
Hier ist die oben erwähnte Berechnung lokaler Schwellwerte in einer Blockzerlegung des
Bildes nützlich, wobei die Blockgröße etwa im Bereich 11 × 11 Punkte liegen kann, d. h. es
wird je ein Grauwerthistogramm und je ein Schwellwert pro Block berechnet. Vielfach werden
Schwellwerte auch interaktiv festgelegt, indem man verschiedene Werte ausprobiert und
das Ergebnis subjektiv beurteilt. Die Festlegung eines Schwellwertes, der für eine Menge von
Bildern, bzw. eine Stichprobe ω von Bildern aus dem Problemkreis, gute Ergebnisse bringt, ist
interaktiv natürlich mühsam.
Schnittpunkt zweier Normalverteilungen
Die oben erwähnte Bimodalität des Grauwerthistogramms legt es nahe, dieses durch die Addition
zweier Normalverteilungen zu approximieren und als Schwellwert den Schnittpunkt der
Normalverteilungen zu wählen, wie in Bild 2.2.4 angedeutet. Die Summe der Normalverteilungen
ist
α
p(f) = √ exp −
2π 1
2
f − m1
+
2
1 − α
√ exp −
2π 1
2
f − m2
(2.2.8)
2
σ1
σ1
mit dem Grauwert f und den unbekannten Parametern α, m1, σ1, m2, σ2. Dieses ist ein einfaches
Beispiel für eine Mischung zweier Normalverteilungen, die in Abschnitt 4.2.1 verallgemeinert
betrachtet wird. Die exakte Lösung zur Berechnung der Parameter und des Schnittpunkts der
Normalverteilungen ist aufwendig und wird daher durch eine Näherungslösung ersetzt. Man
wählt einen Schwellwert θ0, mit fmin ≤ θ0 ≤ fmax. Dann berechnet man m1, σ1 mit Werten
links von θ0 sowie m2, σ2 mit Werten rechts davon und α aus dem Verhältnis. Für diese Approximation
berechnet man den Fehler zwischen p(f) und dem Grauwerthistogramm und verändert
den Schwellwert bis der Fehler minimal ist. Da die Grauwerte f auf L Stufen quantisiert sind,
gibt es nur wenige diskrete Schwellwerte auszuprobieren.
Unimodales Grauwerthistogramm
Die obigen beiden Verfahren versagen natürlich, wenn das Histogramm (fast) unimodal ist, d. h.
nur ein ausgeprägtes relatives Maximum aufweist. Eine einfache Operation zur Bestimmung
σ2
σ2