Klassifikation von Mustern

2.2. SCHWELLWERTOPERATIONEN (VA.1.1.2, 27.12.2003) 83
µ2
µ
bl = θ
µ1
f
Ω l 2
Bild 2.2.6: Die Grauwerte in einem Bild werden durch nur zwei Werte {µ1, µ2}, die durch die
Werte {0, 1} kodiert werden, approximiert
zerlegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt zu Ω l 1 bzw. Ω l 2 gehört, ist
p(Ω l 1 ) =
l
ν=1
pν bzw. p(Ω l 2 ) =
L
ν=l+1
Die bedingten mittleren Grauwerte µ1 und µ2 der Punkte in Ω l 1 und Ωl 2
wert µ des Bildes sind
µ1 =
µ2 =
µ =
l
bνp(f = bν |Ω l 1) =
ν=1
L
ν=l+1
bνp(f = bν |Ω l 2 ) =
l
Ω l 1
pν = 1 − p(Ω l 1 ) . (2.2.11)
sowie der mittlere Grau-
bνpν
p(Ω
ν=1
l , (2.2.12)
1 )
L
ν=l+1
bνpν
p(Ω l 2)
, (2.2.13)
L
bνpν = µ1 p(Ω l 1) + µ2 p(Ω l 2) . (2.2.14)
ν=1
Bild 2.2.6 zeigt die Verhältnisse am Beispiel einer Bildzeile.
Ein erstes sinnvolles Kriterium G (1)
l für die Güte der Klassen bzw. die Güte des Schwellwertes
θ = bl ergibt sich aus der Forderung, dass die Klassen möglichst viele Elemente enthalten
sollten und dass ihre bedingten Mittelwerte möglichst verschieden sein sollten, zu
G (1)
l = p(Ω l 1 )p(Ωl 2 )(µ2 − µ1) 2 . (2.2.15)
Wird die Schwelle θ = bl zu weit gesenkt, so wird p(Ωl 1) 0, und bei zu hoher Schwelle wird
p(Ωl 2) 0. In beiden Fällen ist G (1)
l 0, und dazwischen liegt ein Maximum von G(1)
l . Als
Schwellwert wird der Wert θ = bl∗ bestimmt, für den G(1)
l maximiert wird, also
G (1)
l∗ = max G
l∈{1,...,L}
(1)
l =⇒ θ = bl
∗ = argmax
l∈{1,...,L}
Zur effizienten Berechnung führt man noch eine Größe
µ(l) =
G (1)
l . (2.2.16)
l
bνpν = µ1 p(Ω l 1) (2.2.17)
ν=1
j