Klassifikation von Mustern

3.3. WAVELET–TRANSFORMATION (VA.2.3.2, 31.10.2005) 189
und Wµ ergibt sich zudem eine Beziehung zwischen den Koeffizienten gl und hl zu
ψ(t) = √ 2
hl φ(2t − l) ,
l
hl = √ ∞
2 ψ(u)φ(2u − l) du = 〈ψ0,0(u), φ1,l(u)〉 ,
hl =
−∞
(−1) l g1−l .
(3.3.23)
Ein einfaches Beispiel für eine Skalierungsfunktion und das zugehörige Wavelet sind die
HAAR-Funktionen aus Abschnitt 3.2.6. Wählt man eine Skalierungsfunktion, die im Intervall
0 ≤ t ≤ 1 definiert ist, so folgt aus (3.3.21)
1 : 0 < t < 1
φ(t) =
,
0 : sonst
g0 = g1 = 1 √ 2 . (3.3.24)
Für das Wavelet ergibt sich aus (3.3.23)
ψ(t) =
⎧
⎨
⎩
1 : 0 < t < 0, 5
−1 : 0, 5 < t < 1
0 : sonst
,
h0 = 1 √ 2 , h1 = − 1
√ 2 . (3.3.25)
Bild 3.3.3 zeigt die Funktionen φ3,j, φ2,j, ψ2,j. Ein Vergleich mit der HAAR-Transformation
und Bild 3.2.8 zeigt, dass dort offenbar die hochfrequenten Anteile weiter zerlegt werden, hier
die niederfrequenten. Die Aufnahme eines Bildes mit einer CCD–Kamera kann näherungsweise
als Entwicklung mit HAAR-Funktionen φ(x)φ(y) in der feinsten Auflösungsstufe aufgefasst
werden. Das Abtasttheorem, Satz 2.1, S. 65, geht ja von einer Abtastung an einem Zeitpunkt
aus, was technisch nur näherungsweise realisierbar ist. Auf eine genauere Analyse dieser Problematik
kann hier jedoch verzichtet werden.
Pyramidenalgorithmus für die Koeffizientenberechnung
Mit den Basisfunktionen φµ,k, ψµ,k aus (3.3.10) wird eine Funktion f(t) in die Unterräume
Vµ, Wµ der Auflösungsstufe µ projiziert bzw. nach den Basisfunktionen dieser Unterräume entwickelt.
Wir bezeichnen die Projektionsoperationen mit Φµ, Ψµ. Für Φµ ergibt sich
Φµ{f(t)} = √
2 µ µ
φ (2 t − k) = fµ,kφµ,k ∈ Vµ ,
fµ,k =
k
fµ,k
k
∞
f(τ)φµ,k(τ) dτ = 〈f(τ), φµ,k(τ)〉 (3.3.26)
−∞
und entsprechend für Ψµ
Ψµ{f(t)} =
k
dµ,k
√
2 µ µ
ψ (2 t − k) = dµ,kψµ,k ∈ Wµ ,
k