Klassifikation von Mustern

316 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
sten“, fast alle EKG als anormal einzustufen oder zurückzuweisen. Das aber entspricht nicht den
Erwartungen an ein nützliches System. Da es meistens schwierig ist, die Kosten als Vielfache
irgendeiner Währungseinheit anzugeben, ist es sinnvoller, sie als Gewichtsfaktoren aufzufassen,
mit denen man die Häufigkeit bestimmter Entscheidungen erhöhen oder auch erniedrigen kann
unter Inkaufnahme einer Erniedrigung oder Erhöhung der Häufigkeit anderer Entscheidungen.
Die Häufigkeit der möglichen Entscheidungen ist durch (4.1.8) bestimmbar und hängt über δ
und (4.1.16) von den gewählten Kosten ab. Allerdings wird i. Allg. der Zusammenhang zwischen
diesen Häufigkeiten und den Kosten nur näherungsweise numerisch berechenbar sein,
und dafür ist eine einfache Kostenfunktion wie (4.1.19) besonders geeignet.
Die obige Diskussion zeigt, dass anschaulich wichtige Größen zur Beurteilung eines Klassifikators
die Wahrscheinlichkeiten p(Ωλ |Ωκ) sind. Aus (4.1.8) und (4.1.16) folgt
p(Ωλ |Ωκ) = p(c|Ωκ) dc für λ = 0, 1, . . . , k und κ = 1, . . . , k . (4.1.36)
{c|uλ(c)=minj uj(c)}
Dieses enthält alle i. Allg. möglichen Entscheidungen, um ein Muster aus Ωκ zu klassifizieren.
In dem speziellen Fall der (0,1)-Kostenfunktion ergibt sich aus (4.1.8) und (4.1.16) für die
Wahrscheinlichkeit der richtigen Klassifikation von Mustern aus Ωκ
p(Ωκ|Ωκ) =
p(c|Ωκ) dc . (4.1.37)
{c|pκp(c|Ωκ)=maxj pjp(c|Ωj)}
Die Wahrscheinlichkeit, mit dem optimalen Klassifikator (4.1.33) Muster aus Ω falsch zu klassifizieren,
ist also
pB = pf,min = 1 − pc
k
= 1 −
κ=1
= 1 −
Rc
pκ
p(c|Ωκ) dc
{c|pκp(c|Ωκ)=maxj pjp(c|Ωj)}
max
κ∈{1,...,k} pκp(c|Ωκ) dc . (4.1.38)
Diese Beziehung veranschaulicht Bild 4.1.3. Wenn der optimale Klassifikator realisiert wurde,
lässt sich pB gemäß (3.9.9) schätzen. Der Schätzwert pB wird auch als Fehlerrate bezeichnet.
Im Allgemeinen lassen sich nach dieser Methode auch die Wahrscheinlichkeiten p(Ωλ|Ωκ) in
(4.1.36) schätzen. Es gilt
p(Ωλ |Ωκ) = Zahl der Muster aus Ωκ, die Ωλ zugeordnet wurden
Zahl der Muster aus Ωκ
, (4.1.39)
wobei natürlich der Klassifikator gemäß der verwendeten Entscheidungsregel zu realisieren ist.
Aus (4.1.39) ergeben sich Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeit der korrekten Klassifikation
pc, der Rückweisung pz und der Fehlklassifikation pf für Muster aus dem Problemkreis Ω zu
pc =
k
pκp(Ωκ|Ωκ) ,
κ=1