Klassifikation von Mustern

46 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG (VK.1.3.3, 16.03.2003)
gegeben: Startknoten v0, Kostenfunktion ϕ(vi), Operationen zur Generierung
von Nachfolgern eines Knotens
generiere Nachfolger des Startknotens, berechne ihre Kosten und markiere sie
als unbearbeitete Knoten
IF ein unbearbeiteter Knoten mit den geringsten Kosten ist ein Zielknoten
THEN ENDE mit Erfolg: optimaler Lösungspfad gefunden
ELSE expandiere den unbearbeiteten Knoten mit geringsten Kosten, d.h.
generiere alle seine Nachfolger
prüfe, ob ein besserer Pfad zu einem Knoten gefunden wurde
UNTIL keine unbearbeiteten Knoten mehr vorhanden
ENDE mit Misserfolg: kein Lösungspfad gefunden
Bild 1.6.6: Prinzip des A ∗ –Algorithmus zur Suche nach einem optimalen Pfad in einem Graphen
Satz 1.7 Der A ∗ –Algorithmus terminiert immer für endliche Graphen; er terminiert für unendliche,
wenn ein Lösungspfad existiert. Er ist zulässig, d. h. wenn es überhaupt einen Lösungspfad
gibt, terminiert er mit dem optimalen Pfad.
Beweis: s. z. B. [Hart et al., 1968, Nilsson, 1982]
1.6.10 Evolutionäre Algorithmen
Unter dem Begriff evolutionäre Algorithmen werden Optimierungsverfahren zusammengefasst,
die mit unterschiedlichen Ansätzen Prinzipien der biologischen Evolution nachzubilden versuchen.
Dazu gehören genetische Algorithmen, genetische Programmierung, Evolutionsstrategien
und evolutionäre Programmierung; ein weiterer Ansatz sind die Partikelschwärme (particle
swarm optimization, PSO). Damit lassen sich Optimierungsprobleme behandeln, bei denen die
Kostenfunktion nicht differenzierbar sein muss und bei denen auch die Menge der Lösungen
nicht explizit gegeben ist. Ein Beispiel für so ein Problem ist die Suche nach der Form eines
Tragwerks, das bei vorgegebenem Gewicht und Länge an seinem Ende eine möglichst große
Last tragen kann (Kranausleger). Die Angabe einer expliziten Funktion g(x) für die Form des
Tragwerks scheidet hier aus.
Jede Lösung des Optimierungsproblems (jedes Tragwerk) wird als Individuum bezeichnet,
eine Menge von Lösungen als Population. Die Eignung eines Individuums wird durch eine
Kostenfunktion bewertet. Die Eigenschaften des Individuums charakterisieren die Lösung. Man
beginnt mit einer Anfangspopulation, die z. B. zufällig erzeugt wird. Die aktuelle Population erzeugt
Nachkommen durch zufällige Kreuzung ihrer Eigenschaften und durch zufällige Mutation
(Veränderung) ihrer Eigenschaften. Die Nachkommen werden mit der Kostenfunktion bewertet,
und es erfolgt eine Selektion der geeignetsten, die die nächste Population bilden. Dieser Prozess
der Bildung neuer Populationen wird fortgesetzt bis ein Minimum der Kostenfunktion erreicht
ist. Ein evolutionärer Algorithmus kann einige vom Anwender zu wählende Parameter enthalten,
wie z. B. die Mutationswahrscheinlichkeit. Es ist prinzipiell möglich, auch diese Parameter
in den evolutionären Optimierungsprozess einzubeziehen.
Evolutionäre Algorithmen lassen sich so modifizieren, dass sehr viele Optimierungsproble-