Klassifikation von Mustern

4.1. STATISTISCHE ENTSCHEIDUNGSTHEORIE (VA.1.2.3, 13.04.2004) 321
gilt
p(f) p(c)
= . (4.1.47)
p(f |H0) p(c|H0)
Dieses ist ein intuitiv sinnvolles Auswahlkriterium.
Zur Nutzung des obigen Satzes werden k Referenzhypothesen H0,λ, λ = 1, . . . , k gewählt;
diese können für jede Klasse verschieden sein, müssen es aber nicht. Bei Wahl nur einer Referenzhypothese
für alle k Klassen kann man die klassenspezifische Merkmale so verstehen, dass
sie jede Klasse von der gemeinsamen Referenzhypothese unterscheiden. Bei Wahl von k verschiedenen
Referenzhypothesen kann man die klassenspezifischen Merkmale so verstehen, dass
sie jede Klasse beschreiben – aus der Beschreibung resultiert dann die Unterscheidung. Weiter
werden k klassenspezifische Merkmalsvektoren c (λ) gewählt. Aus den Verteilungsdichten der
klassenspezifischen Merkmale werden die der Abtastwerte bestimmt zu
p(f |Ωλ) =
p(f |H0,λ)
p(c (λ) |H0,λ) p(c(λ) |Ωλ) . (4.1.48)
Der klassenspezifische Klassifikator arbeitet dann in Analogie zu (4.1.45) mit der Regel
κ = argmax
λ∈{1,...,k}
p(f |H0,λ)
p(c (λ) |H0,λ) pλ p(c (λ) |Ωλ) . (4.1.49)
Mit dieser Formulierung des Klassifikationsproblems werden neue Möglichkeiten und Anforderungen
an die stochastische Modellierung eröffnet, die noch umfangreicher theoretischer
Ausarbeitung und experimenteller Erprobung bedürfen. Eine Erwartung ist, dass mit klassenspezifischen
Klassifikatoren der Umfang der Lernstichprobe zur Schätzung der unbekannten
Parameter der Verteilungsdichten kleiner sein kann. Der Grund ist, dass in der Regel die Zahl
der Komponenten jedes klassenspezifischen Merkmalsvektors deutlich kleiner sein sollte als
die eines für alle Klassen gemeinsamen Merkmalsvektors. Ein weiterer Gesichtspunkt ist die
inhärente Modularität der Verarbeitung. Wird nämlich ein Merkmalsvektor in zwei Schritten
} und c (λ)′ = T (λ)
1 {f }, so kann das Projektionstheorem
zweimal angewendet werden und ergibt
gewonnen durch c (λ) = T (λ)
2 {c(λ)′
p(f |Ωλ) =
p(f |H0,λ)
p(c (λ)′ p(c
|H0,λ)
(λ)′ |H ′ 0,λ )
p(c (λ) |H ′ 0,λ ) p(c(λ) |Ωλ) (4.1.50)
Damit lassen sich für mehrere Klassen gemeinsame Schritte zusammenfassen und brauchen nur
einmal realisiert zu werden.