Klassifikation von Mustern

184 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
3.3 Wavelet–Transformation (VA.2.3.2, 31.10.2005)
3.3.1 Kontinuierliche Wavelet–Transformation
Bei der Wavelet–Transformation wird eine Basisfunktion ψ(t), die als “Wavelet” („kleine Welle“
oder „Wellchen“) bezeichnet wird, nach einer Skalierung um den Faktor α an die Position τ
der Zeitachse geschoben und dann eine Integraltransformation berechnet. Damit erhält man eine
Darstellung einer Funktion f(t), die sowohl von der Position τ als auch von der Frequenz α
abhängt, während die FOURIER-Transformierte nur von der Frequenz abhängt. Es wird vorausgesetzt,
dass alle verwendeten Funktionen quadratisch integrierbar sind im Sinne von (3.2.7).
Definition 3.7 Die Wavelet–Transformation (WT) und ihre Inverse sind definiert durch
WT(τ, α) =
f(t) =
∞
f(t)
−∞
1
ψ
|α| ∗
∞
t − τ
dt = f(t)ψα,τ (t) dt ,
α
−∞
∞ ∞
1
WT(τ, α) 1
t − τ
ψ dτ dα .
|α| α
α 2 cψ
−∞
−∞
(3.3.1)
Eine Funktion ψ(t) ist als Basisfunktion zulässig, wenn für ihre FOURIER-Transformierte
Ψ(ω) gilt
∞
|Ψ(ω)|
cψ =
2
dω < ∞ . (3.3.2)
|ω|
−∞
Diese Bedingung ist notwendig für die Existenz der inversen Transformation. Sie kann nur
erfüllt sein, wenn Ψ(0) = 0, d. h. wenn das Wavelet keinen Gleichanteil besitzt. Die Bedingung
erfordert auch, dass die Basisfunktion genügend rasch gegen Null geht, und daher kommt die
Bezeichnung Wavelet.
Ein Beispiel für eine zulässige Basisfunktion ist das MORLET-Wavelet in (3.3.3), das in
Bild 3.3.1 gezeigt ist, sowie die Funktion in (3.3.4), welche bis auf Faktoren (2.3.59), S. 104,
entspricht und die zweite Ableitung einer GAUSS-Funktion ist, die in Bild 2.3.10, S. 105, gezeigt
ist,
ψM(t) = exp −αt 2 exp[i ωt] , α > 0 , (3.3.3)
ψG(t) = (1 − t 2
)exp − t2
. (3.3.4)
2
3.3.2 Wavelet Reihe
Die Werte von α, τ werden nun auf die diskreten Werte
α = 2 −µ , τ = kα , µ, k = . . . , 0, ±1, ±2, . . . (3.3.5)
eingeschränkt (in der Literatur findet man auch die Definition α = 2 µ ). Damit wird eine Familie
von Wavelets {ψµ,k(t)} aus einer Basisfunktion ψ(t) durch Normierung, Skalierung und
Verschiebung generiert
ψµ,k(t) = 1
|α| ψ
t − τ
α
= √ 2 µ ψ (2 µ t − k) , ψ0,0(t) = ψ(t) . (3.3.6)