Klassifikation von Mustern

3.5. ANDERE HEURISTISCHE VERFAHREN (VA.1.3.2, 08.04.2004) 201
3.5 Andere heuristische Verfahren (VA.1.3.2, 08.04.2004)
3.5.1 R–Transformation
Mit Satz 3.2, S. 170, war es möglich, Koeffizienten cν gemäß (3.2.23) zu bestimmen, die translationsinvariant
sind. Eine Modifikation der WALSH–HADAMARD-Transformation (WHT) wurde
unter der Bezeichnung R–Transformation oder RAPID Transformation angegeben. Sie ist
definiert durch
f l 2j = | f l−1
j
f l 2j+1 = | f l−1
j
l−1
+ f
j+ M
2l
l−1
− f
| , M = 2 q , l = 1, 2, . . . , q ,
| , j = 0, 1, . . . , M
2l
− 1 ,
j+ M
2l
f 0 k = fk und f q
k = ck , k = 0, 1, . . . , M − 1 .
(3.5.1)
Es handelt sich hier um eine nichtlineare Transformation. Der Signalflussgraph dieser Transformation
ist übrigens identisch dem der schnellen WHT in (3.2.7), jedoch fehlt bei der WHT
die Betragsbildung. Mit (3.5.1) ist also auch eine einheitliche Darstellung der schnellen WHT
gegeben (jedoch in anderer Anordnung als in (3.2.62), (3.2.63)), wenn die Betragsbildung unterbleibt.
Für die R–Transformation gilt
Satz 3.6 Die mit der R–Transformation gemäß (3.5.1) berechneten Merkmale ck sind invariant
gegenüber einer zyklischen Verschiebung wie in Bild 3.2.2
[f0, f1, . . . , fM−1] −→ [f0+m, f1+m, . . . , fM−1+m] ,
wenn man M + ν = ν setzt, und gegenüber einer Spiegelung
[f0, f1, . . . , fM−1] −→ [fM−1, . . . , f1, f0]
des Musters f.
Beweis: s. z. B. [Reitboeck und Brody, 1969]
3.5.2 Momente
Momente eines Musters f(x, y) wurden bereits in (2.5.31), S. 128, definiert. Hier wird von
Zentralmomenten
µpq =
M−1
j=0
M−1
k=0
(xj − xs) p (yk − ys) q fjk ∆x ∆y (3.5.2)
ausgegangen. Der Schwerpunkt (xs, ys) wurde im Zusammenhang mit (2.5.32) definiert. Die
Koordinaten xj, yk ergeben sich aus (2.1.1); ist x0 = 0 und ∆x = 1, so ist xj = j. Die diskrete
Version (3.5.2) der in (2.5.31) eingeführten Momente eignet sich unmittelbar für die Verarbeitung
von Abtastwerten, hat aber natürlich einen Verlust an Genauigkeit bei der Berechnung der
Momente zur Folge. Die Zentralmomente sind translationsinvariant. Eine Menge von sieben
Merkmalen cν, ν = 1, . . . , 7, die aus Zentralmomenten bis zur Ordnung p + q = 3 berechnet
werden und rotationsinvariant sind, ist
c1 = µ20 + µ02 ,