Klassifikation von Mustern

120 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
Wertet man (2.5.7) für den eindimensionalen Fall an ganzzahligen Werten x = µ aus, so
erhält man die sog. Interpolationsbedingung
f(µ) =
fj gint(µ − j) . (2.5.9)
j
Für µ = j sollte sich wieder der Abtastwert fj ergeben. Das ist dann der Fall, wenn gilt
gint(j) =
1 : j = 0 ,
0 : j = 0 ,
(2.5.10)
d. h. wenn die Interpolationsfunktion an allen ganzzahligen Argumenten den Wert Null annimmt,
außer beim Argument Null, wo der Wert Eins wird. Ein Vergleich mit (2.3.11), S. 89,
zeigt, dass (2.5.9) die Faltung von [fj] und [gint,j] ausgewertet an der Position µ ist.
Aus dem Abtasttheorem ist bekannt, dass die ideale Interpolation einer bandbegrenzten
Funktion mit (2.1.21) bzw. (2.1.22), S. 65, erfolgt
f(x) =
∞
j=−∞
fj
sin[π(x − j)]
π(x − j) =
∞
j=−∞
fj sinc[π(x − j)] =
fj gid(x − j) . (2.5.11)
Die Interpolation ist ideal in dem Sinne, dass die abgetastete Funktion f(x) exakt rekonstruiert
wird; sie ist aus Sicht der numerischen Berechnung jedoch weniger ideal, da der ideale Interpolator
gid(x) nur langsam abklingt, also viele Werte in der Summe ausgwertet werden müssen,
um eine gute Interpolation zu erreichen.
Zur Reduktion der Komplexität werden daher vereinfachte Verfahren verwendet, die einen
Kompromiss zwischen Rechenaufwand und Qualität schließen. Für Approximationen mit geringerem
Rechenaufwand gibt es zwei Ansätze. Der eine Ansatz besteht darin, dass man Impulsantworten
von endlicher Ausdehnung sucht, die die ideale möglichst gut approximieren
und (2.5.10) genügen. Dafür wurden u. a. unterschiedliche Fensterfunktionen vorgeschlagen,
um den idealen Interpolator auf ein endliches Intervall zu beschränken. Der unten betrachtete
lineare Interpolator ist der einfachste Ansatz (wenn man von der nächsten Nachbar-Interpolation
absieht). Der andere Ansatz besteht darin, von vornherein nur eine auf ein endliches Intervall
beschränkte Funktion für die Interpolation zu verwenden und dafür auf die Einhaltung von
(2.5.10) zu verzichten. Als Beispiel dafür betrachten wir die Interpolation mit einem B-Spline
dritten Grades.
Für den ersten Ansatz gibt es in der in Abschnitt 2.7 zitierten Literatur eine Vielzahl von Ansätzen,
wobei auch die verwendeten Qualitätsmaße variieren. Da die FOURIER-Transformierte
des idealen Interpolators gid in (2.5.11) eine Rechteckfunktion ist, s. z. B. (2.1.7), S. 64, wird
als Qualitätsmaß oft die Abweichung der approximierenden Funktion von der Rechteckfunktion
verwendet; auch der subjektive visuelle Eindruck von Interpolationen wird herangezogen.
Lineare Interpolation
Die rechnerisch einfachsten, qualitativ aber auch beschränktesten Verfahren sind die nächster-
Nachbar-Interpolation und die lineare Interpolation. Erstere ordnet einem gesuchten Funktionswert
f(x) den Wert des nächstliegenden Abtastwertes fj zu, letztere interpoliert linear zwischen
dem rechts und links von f(x) liegenden Abtastwert. Die zugehörigen Impulsantworten gnn
j