Klassifikation von Mustern

2.3. LINEARE OPERATIONEN (VA.1.4.2, 04.12.2005) 93
Satz 2.10 Zwischen FOURIER-Spektrum und Ausgangsfolge besteht die Beziehung
Fµ,ν =
1
xpyp
fj,k = ∆x∆y
Mx−1
j=0
Mx−1
µ=0
My−1
k=0
My−1
ν=0
fj,k exp[−i (µ∆ξ j∆x + ν∆η k∆y)] , (2.3.25)
Fµ,ν exp[i (µ∆ξ j∆x + ν∆η k∆y)] , (2.3.26)
ξp∆x = ηp∆y = 2π , ∆ξxp = ∆ηyp = 2π . (2.3.27)
Beweis: s. z. B. [Oppenheim und Schafer, 1975], S. 87–121.
Setzt man, wie häufig üblich, ∆x = ∆y = 1 [Längeneinheit], beachtet xp = Mx∆x und
ξp = Mx∆ξ (s. Bild 2.3.5), so ergibt sich eine spezialisierte Form, die als diskrete FOURIER-
Transformation (DFT) bezeichnet wird. In (2.3.28) oder (2.3.29) wurde davon Gebrauch gemacht,
dass bei dem Transformationspaar f = DFT{DFT −1 {f}} die Konstanten, nämlich
1/(MxMy), beliebig auf die beiden Gleichungen verteilt werden können. Es gilt
Satz 2.11 Definiert man die DFT mit
Fµν =
Mx−1
j=0
My−1
k=0
µj
fjk exp −i 2π +
Mx
νk
My
= DFT{[ fjk]} µ, ν = 0, ±1, ±2, . . . , (2.3.28)
so erhält man die fjk aus der inversen Beziehung
fjk =
1
MxMy
Mx−1
µ=0
My−1
ν=0
µj
Fµν exp i 2π +
Mx
νk
My
= DFT −1 {[ Fµν]} j, k = 0, ±1, ±2, . . . . (2.3.29)
Beweis: Die Beweisidee besteht darin zu zeigen, dass f = DFT −1 {DFT{f}} ist, indem
man (2.3.28) in (2.3.29) einsetzt.
Zur Berechnung der periodischen Folge [ Fµν] reicht eine Periode von [ fjk] aus; das ist einleuchtend,
da weitere Perioden keine zusätzliche Information enthalten. Dass [ Fµν] periodisch
ist, folgt aus (2.3.28) und der Periodizität der darin auftretenden Exponentialfunktion. Eine
analoge Bemerkung trifft für die mit (2.3.29) berechnete Folge [ fjk] zu. Zur Vereinfachung der
Notation wird nur für den eindimensionalen Fall gerechnet, also für die Gleichungen
M−1
−i 2πµj
Fµ = fj exp
,
M
j=0
fk = 1
M−1
i 2πµk
Fµ exp .
M
M
µ=0
fk = 1
M−1 M−1
−i 2πµj
fj exp
M
M
i 2πµk
exp
M
µ=0
j=0