Klassifikation von Mustern

126 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
Diese Gleichung bewirkt einfach eine Koordinatentransformation, nämlich eine Skalierung, des
Musters, die bei kontinuierlichen Mustern im Prinzip problemlos ist.
Bei ihrer Anwendung auf eine eindimensionale Folge [fj] von Abtastwerten erhält man eine
Folge hr von Abtastwerten der normierten Funktion h(u). Wie schon in Abschnitt 2.5.2
erwähnt, ergibt sich das Problem, dass das Bild eines Rasterpunktes auf der x-Achse i. Allg.
zwischen zwei Rasterpunkten auf der u-Achse liegt. Daher wird dieses Problem, das durch
Wiederabtastung (“resampling”) gelöst wird, noch kurz erörtert; es ist ein Beispiel für eine
Transformation gemäß (2.5.5). Zur Vereinfachung der Notation werden die Abtastwerte
[fj], j = 0, 1, . . . , Mx − 1 einer Funktion ϱ f(x) betrachtet, die im Intervall x0 = 0 ≤ x ≤
Mx − 1 = (Mx − 1)∆x = x1 liegen, wie es auch in (2.1.2) bereits eingeführt wurde. Dabei
ist zu beachten, dass für eine andere Funktion σ f(x) die Werte Mx und x1 i. Allg. anders sein
werden und für eine mehrdimensionale Funktion auch die weiteren Variablen zu berücksichtigen
sind. Die Folge [fj] soll in eine Folge [hr] transformiert werden, welche die Abtastwerte
derjenigen Funktion h(u) sind, die man durch lineare Abbildung von f(x) in das Intervall
u0 = 0 ≤ u ≤ Mu − 1 = (Mu − 1)∆u = u1 erhält. Mit ∆x = ∆u = 1 und (2.5.27) erhält man
u = j Mu − 1
Mx − 1 = u(j) , bzw. x = r Mx − 1
= x(r) (2.5.28)
Mu − 1
als Koordinaten der Abtastwerte von f(x) im u-System bzw. von h(u) im x-System. Dieses ist
in Bild 2.5.5b unten gezeigt. Nun sind aber die hr, r = 0, 1, ..., Mu − 1 Abtastwerte von h(u)
an den Stellen u = r∆u = r. Aus Bild 2.5.5b wird klar, dass i. Allg. der Wert hr durch eine Interpolation
der Werte fj berechnet werden muss. Um den Aufwand für die Interpolation gering
zu halten, begnügt man sich oft mit der im Abschnitt 2.5.2 erwähnten linearen Interpolation.
Es sei u(j − 1) der größte Wert mit der Eigenschaft u(j − 1) ≤ r und u(j) der kleinste Wert
mit der Eigenschaft r ≤ u(j). Dann erhält man den Abtastwert hr aus der linearen Interpolationsgleichung
hr = (fj − fj−1)
r − u(j − 1)
u(j) − u(j − 1) + fj−1 , (2.5.29)
wobei u(j)−u(j −1) = (Mu −1)/(Mx−1) = const ist. Damit lassen sich Folgen mit variabler
Anzahl von Abtastwerten in Folgen mit genau Mu Werten transformieren.
Aus dem oberen Teil von Bild 2.5.5b geht hervor, dass man die Normierung auch als erneute
Abtastung von f(x) auffassen kann. Aus [fj] gewinnt man durch Interpolation zunächst f(x)
und tastet diese mit der Schrittweite ∆u = x1/(Mu −1) ab. Ist Mu < Mx, so ist ∆u > ∆x, und
aus dem Abtasttheorem in Satz 2.1, S. 65, folgt, dass gegebenenfalls die interpolierte Funktion
f(x) erneut tiefpassgefiltert werden muss, um die richtige Bandbegrenzung zu erreichen. Auch
hier kann man sich auf lineare Interpolation beschränken und entnimmt dafür Bild 2.5.5b oben
hr = (fj − fj−1) r Mx
− 1
− j + 1 + fj−1 . (2.5.30)
Mu − 1
Man überzeugt sich leicht, dass (2.5.29) und (2.5.30) identisch sind. Die Vorgehensweise in
Abschnitt 2.5.2 besteht darin, zu einem diskreten Wert u = r von h(u) mit (2.5.5) den zugehörigen
x-Wert zu bestimmen, dann mit (2.5.22) den Funktionswert f(x) zu interpolieren und mit
(2.5.6) hr = f(x) zu setzen; dieses wird für r = 0, 1, . . . , Mu − 1 durchgeführt. Offenbar sind
alle Vorgehensweisen äquivalent, letztere eignet sich besonders für eine effiziente Ausführung.