Klassifikation von Mustern

3.3. WAVELET–TRANSFORMATION (VA.2.3.2, 31.10.2005) 187
dazugehörige orthogonale Wavelets ψ(t). Weiter wurde gezeigt, dass
φµ,k(t) = √ 2 µ φ (2 µ t − k) ,
ψµ,k(t) = √ 2 µ ψ (2 µ t − k) (3.3.10)
für µ, k ∈ Z Basisfunktionen des L2 (R) sind. Für k ∈ Z sind die φµ,k(t) Basisfunktionen eines
Unterraumes Vµ ⊂ L2 (R) und die ψµ,k(t) Basisfunktionen eines dazu orthogonalen Unterraumes
Wµ ⊂ L2 (R). Wir beschränken uns hier auf orthogonale Skalierungs– und Waveletfunktionen
und verweisen für allgemeinere, wie z. B. biorthogonale Wavelets, auf die Literatur. Es gilt
also
0 = φµ,k(t)ψµ,l(t) dt = 〈φµ,k(t)ψµ,l(t)〉 . (3.3.11)
Diese Unterräume erfüllen die Hierarchiebedingungen (oder die Multiresolutionsbedingungen)
Hier werden nur zwei einfache Spezialfälle erwähnt:
1. Schachtelung der Unterräume
Vµ ⊂ Vµ+1 , f(t) ∈ Vµ ⇐⇒ f(2t) ∈ Vµ+1 , (3.3.12)
Wµ ⊂ Wµ+1 , f(t) ∈ Wµ ⇐⇒ f(2t) ∈ Wµ+1 ,
2. direkete Summe von Skalierungs– und Waveletanteil (bzw. von Mittelwert– und Differenzanteil)
V1 = V0 ⊕ W0 , V2 = V0 ⊕ W0 ⊕ W1 , . . .
Vµ+1 = Vµ ⊕ Wµ , Vµ ⊥ Wµ , (3.3.13)
3. Vollständigkeit der Basisfunktionen
{∅} = V−∞ ⊂ . . . ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ V∞ = L 2 (R) ,
V∞ = V0 ⊕ W0 ⊕ W1 ⊕ . . . ⊕ W∞ = L 2 (R) . (3.3.14)
Der Index µ nimmt also im Prinzip Werte zwischen −∞, . . . , +∞ an, wobei ein größerer
Wert des Index einer feineren Auflösung entspricht. Aus den Hierarchiebedingungen, insbesondere
aus (3.3.14) folgt, dass sich die Entwicklung einer Funktion mit Hinzunahme der
Skalierungsfunktion bei einem beliebigen Index µ, z. B. µ = 0, beginnen lässt, sodass sich die
Waveletreihe (3.3.8) modifiziert zu
f(t) =
f0,kφ0,k(t) +
k
∞
dµ,kψµ,k(t) . (3.3.15)
µ=0
k
Praktisch geht man natürlich immer von Mustern bzw. Signalen begrenzter Auflösung aus, da
technische Sensoren eine begrenzte Bandbreite haben und ihre Messwerte für die digitale Verarbeitung
nach den Grundsätzen von Abschnitt 2.1.2 abgetastet werden. Daher gibt es eine durch
den Sensor bedingte feinste Auflösungsstufe µ = m, wenn man M = 2 m Abtastwerte der Funktion
f(t) aufnimmt, sowie eine gröbste Auflösung µ = 0. Natürlich ist mit dieser begrenzten
Auflösung L 2 (R) nicht mehr exakt darstellbar.