Klassifikation von Mustern

116 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
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Bild 2.4.8: Zur Diskretisierung des Terms dx, (2.4.27), in der Diffusionsgleichung (2.4.26)
Zur Abkürzung wird, analog zu (2.1.1), S. 62, gesetzt
vjkτ = v(x0 + j∆x, y0 + k∆y, t0 + τ∆t) ,
djkτ = d |∇vσ| 2 x0+j∆x,y0+k∆y,t0+τ∆t
. (2.4.28)
Eine einfache Diskretisierung zeigt Bild 2.4.8. Danach ist
α = d ∂v
∂x ≈
j
dj+1,kτ
dx =
+ djkτ vj+1,kτ − vjkτ
,
2 ∆x
∂
d
∂x
∂v
j
≈
∂x
1
d
∆x
∂v
∂x − d
j
∂v
∂x ,
j−1
dx ≈ 1
dj+1,kτ + djkτ vj+1,kτ − vjkτ
−
∆x 2 ∆x
djkτ
=
+ dj−1,kτ vjkτ − vj−1,kτ
2 ∆x
1
2(∆x)
(2.4.29)
2
vj−1,kτ(djkτ + dj−1,kτ) − vjkτ(dj−1,kτ + 2djkτ + dj+1,kτ)
+vj+1,kτ(djkτ + dj+1,kτ) . (2.4.30)
Mit dem Term dy
(2.4.28) ist
wird analog verfahren. Eine diskrete Approximation von (2.4.24) bzw.
djkτ ≈
vσ;j+1,kτ 2
2
− vσ;j−1,kτ vσ;j,k+1,τ − vσ;j,k−1,τ
d
+
,
∆x
∆y
(2.4.31)
vσ = Nσ ∗ v ,
wobei d(.) z. B. wie in (2.4.23) gewählt wird. Mit der diskreten Approximation der partiellen
Ableitung nach der Zeit ergibt sich schließlich eine diskrete Version von (2.4.26) zu
∂v
∂t ≈ vjk,τ+1 − vjkτ
∆t