Klassifikation von Mustern

390 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
Bild 4.5.4: Das Bild zeigt oben ein Sprachsignal, in der Mitte das Laryngograph Anregungssignal,
unten das mit einem MLP rekonstruierte Anregungssignal (aus [Denzler, 1992])
man mit der ersten Schicht eine Menge von Hyperebenen realisiert und mit der Nichtlinearität
festlegt, auf welcher Seite der Hyperebene sich ein Muster befindet. In der zweiten Schicht
werden Hyperebenen durch logisches UND zu einem konvexen Gebiet zusammengefasst, und
in der dritten (bei Bedarf) mehrere konvexe Gebiete durch logisches ODER zu einem mehrfach
zusammenhängenden Klassengebiet. Da die Zahl der Hyperebenen beliebig ist, kann man so beliebig
viele mehrfach zusammenhängende Klassengebiete definieren. Für die Verwendung des
MLP zur Approximation von Funktionen spricht, dass die Sigmoid Funktion – im Unterschied
z. B. zu Polynomen – für betragsmäßig große Werte des Arguments nicht gegen Unendlich geht.
Ein Beispiel für eine „Funktionsinversion“ zeigt Bild 4.5.4. Es handelt sich dabei um die
Schätzung der sprecherunabhängigen inversen Abbildung eines Sprachsignals auf das Anregungssignal
der Stimmbänder bei stimmhafter Sprache. Dieses ist nützlich für die Bestimmung
der Sprachgrundfrequenz. Hier ist die Eingabe des neuronalen Netzes ein Sprachsignal und die
gewünschte Ausgabe das mit einem Laryngographen gemessene Anregungssignal, das durch
die tatsächlich beobachtete Ausgabe approximiert wird. Ein Netz wurde mit verschiedenen
Sprachsignalen trainiert und dann mit Sprachsignalen getestet, die nicht in der Trainingsmenge
enthalten waren. Man entnimmt der Abbildung, dass das Anregungssignal sehr gut durch das
neuronale Netz approximiert wird.
Von einem MLP mit zwei verborgenen Schichten lässt sich zeigen, dass es eine Stichprobe
ω = {(c, t)}, c ∈ R n , t ∈ R m vom Umfang N mit sehr kleinem Fehler lernen kann, wenn das
Netz in der ersten verborgenen Schicht L1 = (m + 2)N + 2 N/(m + 2), in der zweiten
L2 = m N/(m + 2) Neuronen hat sowie m Ausgabeneuronen hat. Für Einzelheiten wird auf
die Literatur verwiesen.