Klassifikation von Mustern

2.1. KODIERUNG (VA.1.2.3, 18.05.2007) 65
h(x) =
∞
f(u)g(x − u) du , FT{h(x)} = F (ξ)G(ξ) , (2.1.15)
−∞
wobei G(ξ) = FT{g(x)} ist. Die Beziehungen (2.1.10) – (2.1.12) sind leicht zu verifizieren.
(2.1.13) ist das PARSEVAL-Theorem. Die Funktion r(x) in (2.1.14) ist die Autokorrelationsfunktion
von f(x); ihre FOURIER-Transformierte ist also gleich dem Betragsquadrat
der FOURIER-Transformierten von f(x). Schließlich gibt der Multiplikationssatz in (2.1.15) eine
wichtige Beziehung zwischen dem Ergebnis h(x) der Faltung (s. Abschnitt 2.3.2) zweier
Funktion f(x), g(x) und deren FOURIER-Transformierten F (ξ), G(ξ); dieser Satz wird wegen
seiner Bedeutung in Satz 2.12 für den diskreten Fall genauer betrachtet.
Eine in einem Intervall (−ξ0, ξ0) periodische Funktion kann man in diesem Intervall in eine
FOURIER-Reihe entwickeln.
Definition 2.2 Eine periodische Funktion F (ξ) hat die FOURIER-Reihe
F (ξ) =
∞
aj exp i 2π jξ
2ξ0
j=−∞
(2.1.16)
mit den Entwicklungskoeffizienten
aj = 1
ξ0
F (ξ) exp −i 2π
2ξ0
jξ
dξ . (2.1.17)
2ξ0
Abtasttheorem
−ξ0
Es wird nun vorausgesetzt, dass für die abzutastende Funktion f(x) die FOURIER-
Transformierte F (ξ) gemäß (2.1.4) existiert und bandbegrenzt im Frequenzbereich (−Bx, Bx)
ist, d. h. es gilt
F (ξ) = 0 für |ξ| > ξ0 = 2πBx . (2.1.18)
Satz 2.1 (Abtasttheorem) Eine bandbegrenzte Funktion f(x) ist vollständig bestimmt
durch die Abtastwerte
fj = f(j∆x) , (2.1.19)
wenn man als Abstand der Abtastwerte
∆x ≤ 1
2Bx
= π
ξ0
wählt. Man kann f(x) rekonstruieren aus der Interpolationsformel
f(x) =
∞
j=−∞
fj
sin [2πBx(x − j∆x)]
2πBx(x − j∆x)
(2.1.20)
. (2.1.21)
Setzt man, wie oben beim Übergang von (2.1.1) auf (2.1.3) ∆x = 1, so folgt daraus mit (2.1.20)
2Bx = 1, und damit reduziert sich die Interpolationsformel auf die einfachere Form
f(x) =
∞
j=−∞
fj
sin [π(x − j)]
π(x − j) =
∞
j=−∞
fj sinc[π(x − j)] . (2.1.22)
Beweis: Der hier gebrachte Beweis des Abtasttheorems beruht auf den beiden Beweisideen