Klassifikation von Mustern

96 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
a)
b)
¡
0
¢ £¥¤ ¡§¦
¡
1
FT ¨© FT 1
0
¦ ¢¤
4§
0
¡
Abtastung
Interpolation
¢ £
0 1
Periodizität
1 2
∆
1 Einheit
¦ ¢¤
∆
¡ 2
2 ∆
˜ £ ¢
¡ ¡ ¡ ∆
∆ ¡¡
¨© DFT DFT 1
∆
˜ ¢
∆ ¡
∆ 2
2
Bild 2.3.5: Eine kontinuierliche Funktion f(x) hat ein kontinuierliches Spektrum F (ξ), eine
periodische diskrete Funktion [ fj] hat ein periodisches diskretes Spektrum [ Fµ]. Die periodische
Fortsetzung ist mit drei Punkten angedeutet, der Ortsbereich in a), der Frequenzbereich in b)
dargestellt.
Folgen [ Fµν] und [ Gµν] gemäß (2.3.28) berechnet. Damit wird eine periodische Folge [ Hµν]
definiert durch
[ Hµν] = [ Fµν][ Gµν] ,
Hµν = Fµν Gµν , µ, ν = 0, ±1, ±2, . . . . (2.3.33)
Für H gilt die folgende Aussage:
Satz 2.12 (Multiplikationssatz der DFT) Die periodische Folge
hjk = DFT −1 {[ Hµν]} (2.3.34)
ist gleich dem Ergebnis der zyklischen Faltung von fjk und gjk
hjk =
M ′ x−1
µ=0
M ′ y−1
ν=0
fµνgj−µ,k−ν , j, k = 0, ±1, . . . (2.3.35)
In einer Gleichung zusammengefasst erhält man also die gemäß (2.3.34) definierte periodische
Folge aus
hjk = DFT −1 {DFT{[ fjk]} · DFT{[gjk]}} . (2.3.36)