Klassifikation von Mustern

1.6. OPTIMIERUNGSVERFAHREN 45
Die DP ist in vielen Anwendungen ein unverzichtbares Werkzeug geworden, in der Mustererkennung
z. B. in der Kontextberücksichtigung (s. Abschnitt 4.7)
1.6.9 Graph– und Baumsuche
Grundsätzlich lassen sich die Schritte bei der Lösung eines Problems durch Knoten und Kanten
in einem Graphen oder Baum darstellen. Der Startknoten ist das anfänglich gegebene Problem,
hier also die Klassifikation oder Analyse eines gegebenen Musters. Die Anwendung irgendeiner,
hoffentlich zur Problemlösung beitragenden, Operation ergibt einen neuen Knoten, der
mit seinem Vorgänger durch eine Kante verbunden ist. Der Zielknoten enthält eine optimale
Lösung des Problems, wobei Optimalität wieder im Sinne eines problemangepassten Optimierungskriteriums
verstanden wird, hier also Klassifikation oder Analyse mit minimalem Fehler
und u. U. minimaler Rechenzeit. Man sucht nach einer Folge von Operationen, die mit minimalen
Kosten zu einer optimalen Lösung führt; diese Folge ist ein Pfad im Graphen, nämlich
der optimale Lösungspfad. Prinzipiell hat man also die Güte der Lösung (z. B. die Fehlerrate
eines zu entwickelnden Systems zur Klassifikation von Mustern) von den Kosten des Lösungspfades
(z. B. der Zeit zur Entwicklung des optimalen Systems zur Klassifikation von Mustern)
zu unterscheiden.
Von den verschiedenen Algorithmen zur Graphsuche deuten wir hier nur den A ∗ –
Algorithmus an. Bei der Suche wird ein Suchbaum generiert, der implizit definiert ist, d. h. es
ist der leere Startknoten v0 gegeben sowie Operationen, mit denen zu einem gegebenen Knoten
weitere generiert werden können. Es ist nicht das Ziel, alle Knoten des Baumes zu generieren,
sondern möglichst nur die, die zum Finden des optimalen Lösungspfades erforderlich sind. Wir
betrachten nun irgendeinen Knoten vi im Suchbaum und den optimalen Pfad vom Startknoten
v0 über diesen Knoten vi zum Zielknoten vg. Für die Kosten dieses Pfades werden drei Bedingungen
gestellt. Die Kosten ϕ(vi) des optimalen Pfades über vi müssen sich als erste Bedingung
additiv zusammensetzen aus den Kosten ψ(vi) von v0 nach vi und den Kosten χ(vi) von vi nach
vg
ϕ(vi) = ψ(vi) + χ(vi) . (1.6.35)
In einem konkreten Suchproblem werden diese unbekannten Kosten durch eine Schätzung
ϕ(vi) = ψ(vi) + χ(vi) ersetzt. Es wird gefordert, dass die Schätzung der Restkosten χ(vi)
optimistisch ist in dem Sinne, dass der Schätzwert kleiner als die tatsächlichen Kosten ist
χ(vi) ≤ χ(vi) . (1.6.36)
Wenn r(vi, vk) die tatsächlichen Kosten eines optimalen Pfades von vi zu einem Nachfolger vk
sind, muss als drittes die Monotoniebedingung
χ(vi) − χ(vk) ≤ r(vi, vk) (1.6.37)
gelten.
Ein Graphsuchalgorithmus mit einer Kostenfunktion, die den obigen drei Bedingungen genügt,
heisst A ∗ –Algorithmus. Sein Arbeitsprinzip ist informell in Bild 1.6.6 angegeben. Die
Analogie zur dynamischen Programmierung (DP) ist offensichtlich. Dort wird ein optimaler
Pfad in einem Netzwerk von Zuständen, d. h. in einem Graphen gesucht. Bei der DP muss die
Kostenfunktion ebenfalls einschränkenden Bedingungen genügen.