Klassifikation von Mustern

3.6. MERKMALE FÜR DIE SPRACHERKENNUNG (VA.1.2.2, 06.02.2004) 211
angeben. Die Matrix dieses Gleichungssystems ist eine TOEPLITZ-Matrix, wie man an der
Umschreibung von (3.6.8) in
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎝
r0 r1 r2 · · · rm−1
r1 r0 r1 · · · rm−2
.
rm−1 rm−2 rm−3 · · · r0
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
a1
a2
.
am
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = − ⎜
⎠ ⎝
r1
r2
.
rm
⎟
⎠
(3.6.9)
sieht. Daher lässt sich das Gleichungssystem rekursiv mit einer Komplexität von O(m 2 ) lösen.
Der als LEVINSON-Rekursion bekannte Algorithmus berechnet lineare Vorhersagekoeffizienten
ai,µ sowie den Vorhersagefehler εi sukzessive für i = 1, 2, . . . , m, µ = 1, 2, . . . , i. Die
Koeffizienten ai,µ ergeben eine lineare Vorhersage gemäß (3.6.3) mit i Koeffizienten. Die Rekursion
verläuft in folgenden Schritten:
1. Man berechne rj, j = 0, 1, . . . , m gemäß (3.6.7) und initialisiere
ε0 = r0 , k1 = − r1
r0
, a1,0 = 1 , a1,1 = k1 , ε1 = ε0(1 − k 2 1) .
2. Für i = 1, . . . , m − 1 führe man folgende Operationen aus:
ki+1 = − 1
εi
i
r|i+1−j|ai,j , (3.6.10)
j=0
ai+1,0 = 1 , (3.6.11)
ai+1,µ = ai,µ + ki+1ai,i+1−µ , µ = 1, . . . , i , (3.6.12)
ai+1,i+1 = ki+1 , (3.6.13)
εi+1 = εi(1 − k 2 i+1 ) . (3.6.14)
3. Für i = m − 1 erhält man aus (3.6.12), (3.6.13) Koeffizienten am,µ, µ = 1, . . . , m,
die gleich den linearen Vorhersagekoeffizienten aµ in (3.6.3) sind, also Lösungen des
Gleichungssystems (3.6.8), (3.6.9).
Die Koeffizienten ki werden als Reflektionskoeffizienten bezeichnet. Der Fehler ε in (3.6.4) lässt
sich in geschlossener Form angeben. Mit einem (m + 1)ten Koeffizienten a0 = 1 folgt aus
(3.6.3), (3.6.4) mit (3.6.7) durch einfache Rechnung
ε =
m
µ=0 ν=0
und mit (3.6.8)
ε =
m
aµaνr|µ−ν| ; (3.6.15)
m
aµrµ . (3.6.16)
µ=0
Bei Anwendung der obigen Rekursionsgleichungen erhält man diesen Fehler direkt aus (3.6.14)
zu
ε = εm . (3.6.17)