Klassifikation von Mustern

172 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Grundsätzlich gelten auch hier die Bemerkungen von Abschnitt 2.3.4, wonach die DFT für periodische
Folgen eingeführt wurde. Eine genauere Diskussion dieser Fragen im Zusammenhang
mit dem komplexen Cepstrum erfolgt in der angegebenen Literatur. Als Anhaltspunkt kann dienen,
dass die Verwendung endlicher Folgen in (3.2.28) mit genügender Genauigkeit zulässig
ist, wenn M in (3.2.14) genügend groß ist, d. h. man muss gegebenenfalls eine endliche Folge
[fj] durch Anhängen von Nullen verlängern. Es sei noch angemerkt, dass man die mit (3.2.25),
(3.2.28), (3.2.29) angegebene Vorgehensweise auch zur Vorverarbeitung von Mustern anwendet.
Die zugehörigen Systeme werden als homomorphe Systeme bezeichnet.
Da die DFT in (3.2.28) i. Allg. komplexe Koeffizienten ergibt, ist auch der komplexe Logarithmus
zu verwenden. Um diesen zu vermeiden und aus den im Anschluss an (3.2.23) diskutierten
Gründen wird daher statt des komplexen Cepstrums f + auch das Cepstrum f 0 verwendet,
das definiert ist durch
f 0 = DFT −1 {log[|DFT{f}| 2 ]} . (3.2.30)
Ist Fν ein Koeffizient der DFT von [f] gemäß (3.2.14), so wird also als Merkmal
cν = DFT −1 log |Fν| 2
verwendet. Gebräuchlich sind auch
(3.2.31)
cν = log |Fν| 2 , (3.2.32)
cν = log |Fν| 2 2 . (3.2.33)
Die Folge [|Fν| 2 ] wird auch als Leistungsspektrum von f bezeichnet. Es ist die DFT der
Autokorrelationsfunktion von f (s. (2.1.14), S. 64), sodass man letztere mit der DFT berechnen
kann, wenn ähnliche Bedingungen, wie sie im Zusammenhang mit (2.3.37) diskutiert wurden,
beachtet werden.
Es wurde bereits im Abschnitt 2.3.3 erwähnt, dass es schnelle Algorithmen zur Berechnung
der DFT gibt. Zwar würde deren ausführliche Erörterung hier zu weit führen, jedoch lässt sich
das Prinzip kurz darstellen. Fasst man die Koeffizienten Fν der DFT in (3.2.14), (3.2.16) im
Vektor F zusammen, so gilt
F = W Mf , (3.2.34)
W M = W νj
M , ν, j = 0, 1, . . . , M − 1 . (3.2.35)
Wegen (3.2.21) lassen sich alle Elemente von W M so modulo M reduzieren, dass nur noch
Elemente W k M , 0 ≤ k ≤ M − 1 auftreten. Diese Matrix wird W M genannt. Wir setzen
nun voraus, dass M = 2q , q = 1, 2, . . . ist. Die Zeilen von WM werden nach der Methode
des “bit reversal” umgeordnet und ergeben eine Matrix W ′
M . Ist beispielsweise M = 8,
so werden die acht Zeilen von W M dezimal von 0 bis 7, binär von 000 bis 111 durchnummeriert.
Die Zeile 3 mit der binären Darstellung 011 ergibt nach dem “bit reversal” binär 110
oder dezimal 6. Also wird Zeile 3 von W M die Zeile 6 von W ′
M . Das Prinzip der schnellen
FOURIER-Transformation (FFT, “Fast FOURIER-Transform”) beruht darauf, dass sich W ′
M
wie im folgenden Satz angegeben faktorisieren lässt.