Klassifikation von Mustern

202 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
c2 = (µ20 − µ02) 2 + 4µ 2 11 ,
c3 = (µ30 − 3µ12) 2 + (3µ21 − µ03) 2 ,
c4 = (µ30 + µ12) 2 + (µ21 + µ03) 2 ,
c5 = (µ30 − 3µ12)(µ30 + µ12)((µ30 + µ12) 2 − 3(µ12 + µ03) 2 )
+(3µ21 − µ03)(µ12 + µ03)(3(µ30 + µ12) 2 − (µ21 + µ03) 2 ) ,
c6 = (µ20 − µ02)((µ30 + µ12) 2 − (µ21 + µ03) 2 )
+4µ11(µ30 + µ12)(µ21 + µ03) ,
c7 = (3µ21 − µ03)(µ30 + µ12)((µ30 + µ12) 2 − 3(µ21 + µ03) 2 )
+(3µ12 − µ30)(µ21 + µ03)(3(µ30 + µ12) 2 − (µ21 + µ03) 2 ) . (3.5.3)
Die Invarianz gilt für die Berechnung der Momente mit (2.5.31); bedingt durch Ungenauigkeiten
der diskreten Form sind gewisse Abweichungen möglich. Eine Größeninvarianz, d. h.
Invarianz gegenüber der Koordinatentransformation
x ′ = ax und y ′ = ay (3.5.4)
wird durch Verwendung der Momente
µ ′ pq
= µpq
µ (p+q)/2
00
zur Berechnung der cν erreicht, oder durch Verwendung von
c ′ 2
c2
= ,
r4 c ′ c3
3 =
r6 , c′ 4
c ′ c6
6 = ,
r8 c ′ 5 = c5
c4
= ,
r6 r12 , c′ 7 = c7
r
(3.5.5)
12 , (3.5.6)
wobei r die in (2.5.33) eingeführte Größe r = √ µ20 + µ02 ist. Die Verwendung derartiger invarianter
Momente als Merkmale basiert auf der Tatsache, dass unter bestimmten Voraussetzungen
ein Muster eindeutig durch seine Momente µpq, p, q = 0, 1, 2, . . . gekennzeichnet wird.
Eine Verallgemeinerung der Momente sind die LEGENDRE- und ZERNIKE-Momente sowie
Momente für dreidimensionale Objekte. Zur effizienten numerischen Berechnung aller erwähnten
Momente wird auf die Literatur verwiesen.
Definition 3.11 Die LEGENDRE-Momente sind definiert durch
λpq =
(2p + 1)(2q + 1)
4
+1 +1
wobei Pp(x) das Legendre Polynom der Ordnung p ist.
−1
−1
Pp(x)Pq(y)f(x, y) dx dy , (3.5.7)
Die LEGENDRE-Polynome sind in (−1, +1) rekursiv definiert durch
Pp(x) = 1
p [(2p − 1)xPp−1(x) − (p − 1)Pp−2(x)] , p = 2, 3, . . . , (3.5.8)
P0(x) = 1 , P1(x) = x .
Für ein Muster f(r, φ) in Polarkoordinaten gilt: