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26 CAPÍTULO 1 ¿ Qué es la economía?
NOTA MATEMÁTICA
Ecuaciones de líneas rectas
Cuando una línea recta representada en una gráfica
describe la relación entre dos variables, la llamamos
relación lineal. La figura 1 muestra la relación lineal
entre el gasto y el ingreso de una persona. Cuando su
ingreso es cero, esta persona gasta 100 dólares por
semana (ya sea porque pide prestado o gasta sus ahorros
previos). Además, de cada dólar que gana, gasta
50 centavos (y ahorra 50).
Todas las relaciones lineales se describen mediante
la misma ecuación general. Llamamos x a la cantidad
que se representa en el eje horizontal (o eje de las x)
y y a la cantidad representada en el eje vertical (o eje
de las y). En el caso de la figura 1, x corresponde al
ingreso y y al gasto.
Una ecuación lineal
La ecuación que describe una relación en línea recta
entre x y y es:
y a bx.
En esta ecuación, a y b son números fijos, por lo que
se denominan constantes. Los valores de x y y varían,
por ello estos números se conocen como variables.
Dado que describe una línea recta, la ecuación se
denomina ecuación lineal.
La ecuación nos dice que cuando el valor de x es
igual a cero, el valor de y es a. A la constante a la
◆
denominamos intercepto en y. La razón es que, en la
gráfica, la línea recta toca el eje y en un valor igual a a.
La figura 1 muestra el intercepto en y.
Para valores positivos de x, el valor de y excede a a.
La constante b nos dice cuánto aumenta y por arriba
de a cuando se incrementa x. La constante b es la
pendiente de la línea.
Pendiente de la línea
Como se explicó en este capítulo, la pendiente de una
relación es el cambio en el valor de y dividido entre el
cambio en el valor de x. Usamos la letra griega (delta)
para representar el concepto de “cambio en”. Por lo
tanto, y simboliza el cambio en el valor de la variable
medida en el eje y, y x significa el cambio en el valor
de la variable medida en el eje x. Así, la pendiente de la
relación se representa como:
y/x.
Para ver por qué la pendiente es b, suponga que
inicialmente el valor de x es x 1 , o 200 dólares en la
figura 2. El valor correspondiente de y es y 1 , que
también es de 200 dólares. La ecuación de la línea
nos dice que:
y 1 a bx 1 . (1)
Ahora, el valor de x aumenta en x a x 1 x
(o 400 dólares en la figura 2) y el valor de y se incrementa
en y a y 1 y (o 300 dólares en la figura 2).
Ahora, la ecuación de la línea nos dice que:
y 1 y a b(x 1 x) (2)
Gasto (dólares a la semana)
400
300
200
Valor de y
Pendiente = b
y = a + bx
Gasto (dólares a la semana)
400
300
200
y 1
+ Δy
Δy
100
Intercepto
en y = a
Valor de x
100
x 1
Δx
x 1
+ Δx
0
100 200 300 400 500
Ingreso (dólares a la semana)
0
y 1
500
100 200 300 400
Ingreso (dólares a la semana)
Figura 1 Relación lineal
Figura 2 Cálculo de la pendiente