Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 101
La simmetria sferica dell’hamiltoniana impone regole di selezione: nell’approssimazione
di dipolo elettrico solo alcune delle transizioni possibili sono permesse.
Tenuto conto che
r
4π 0
z = r cos θ = Y1 (θ)
3
la parte angolare dell’elemento di matrice di z èdatada
Z
dΩ Y mf ∗
(θ, ϕ) · cos θ · Y lf
mi (θ, ϕ) .
li
Poichè
cos θ · Y m
l (θ, ϕ) =
s
(l +1) 2 − m2 m
Yl+1 (θ, ϕ)+
(2l +3)(2l +1)
l’integrale angolare è nullo a meno che
lf = li ± 1
mf = mi
s
l2 − m2 m
Yl−1 (θ, ϕ)
(2l +1)(2l−1) L’onda incidente può esser polarizzata circolarmente. Ciò si ottiene sostituendo
a ~ez nell eq.( 34) ~e± =(~ez ± i~ex) / √ 2
~A ± (~r, t) =A0~e± e i(ky−ωt) + A ∗ ∗
0 ~e ± e−i(ky−ωt)
la scelta del segno + corrisponde ad una polarizzazione circolare sinistrorsa, mentre
il segno - si riferisce ad una polarizzazione circolare destrorsa. Gli elementi di
matrice di pz ± ipx sono proporzionali a z ± ix conlostessocoefficiente dell’eq.(
39)
(z ± ix) / √ 2=r (cos θ ± i sin θ cos ϕ) / √ 2.
L’integrale angolare contiene anche il termine
Z
in cui l’integrazione su ϕ dà luogo a
dΩ Y mf ∗
(θ, ϕ) · sin θ lf
¡ e iϕ + e −iϕ¢ · Y mi (θ, ϕ)
li
Z 2π
0
dϕ e −imf ϕ ¡ e iϕ + e −iϕ¢ e imϕ
cheèdiversodazerosolose
mf = mi ± 1
mentre l’integrazione su θ fornisce oltre alla regola precedente anche
lf = li ± 1
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