Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 238
I valori di aspettazione delle osservabili si ottengono con l’operatore statistico
bρ G = Z −1
G exp
³ ³ ´´
−β bH − µ Nb
(214)
³ ³
=expβ
Ω − b H + µ b ´´
N
e la media di insieme (termica) di b A èdatada
D E ³
bA = Tr bρ G · b ´
A
P P
N j
=
exp (−β (Ej
D ¯
− µN)) Nj ¯ b ¯ E
¯
A¯
Nj
P P
N j exp (−β (Ej − µN))
(215)
Consideriamo ora un gas di particelle identiche (bosoni o fermioni) non interagenti.
E’ conveniente usare per l’ insieme completo degli stati nello spazio di
Hilbert quelli della rappresentazione dei numeri di occupazione. Abbiamo visto
che la funzione d’onda di particelle identiche non interagenti è data o da un permanente
(bosoni) o da un determinante di Slater (fermioni) costruiti con gli stati
di singola particella . Sia niil numero degli stati di singola particella di energia εi
esia|n1n2 ···n∞i l’autostato dell’Hamiltoniana c H0 e dell’operatore numero b N
cH0 |n1n2 ···n∞i = X
niεi ·|n1n2 ···n∞i = E0 |n1n2 ···n∞i
i
bN|n1n2 ···n∞i = X
ni ·|n1n2 ···n∞i = N |n1n2 ···n∞i
i
Ovviamente solo un numero finito di stati (quelli con ni 6= 0) concorrono all’energia
totale e al numero totale di particelle e compaiono nella funzione d’onda
totalmente simmetrica o totalmente antisimmetrica. Si semplifica la notazione
includendo anche quei numeri di occupazione ni che sono zero a cui compete
una funzione d’onda di singola particella identicamente nulla e che cancellano i
termini corrispondenti negli sviluppi del determinante o del permanente. Poichè
0! = 1 il fattore di normalizzazione è comunque dato da
µ n1!n2! ···n∞!
N!
1
2
.
In questa rappresentazione
ZG = X
* ¯
n1n2 ···n∞ ¯ exp
à Ã
β µ X
ni − X
n1n2···n∞
i
i
niεi
!!¯ ¯¯¯¯ n1n2 ···n∞
+