Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 82
operatori vettoriali. In questo caso esso va esteso ad elementi di matrice con J
diversi. Questa generalizzazione si ottiene a partire dalla regola di commutazione
h
J2 h
; J 2 ; ~ ii ³
A = 2 J 2 ´ ³ ´
A ~ + AJ ~ 2
¡ 4 ~A ¢ J~
~J
e prendendo elementi di matrice tra stati dello stesso J si recupera il teorema
(25). Tra gli stati JM e J 0 M 0 con J 0 6= J si ha invece, dopo un pò di algebra
h
(J + J0 + 1) 2 i h
¡ 1 (J ¡ J 0 ) 2 i
¡ 1
£ h¸ 0 J 0 M 0
¯ ~ ¯
A¯
¸JMi = 0
e quindi ~ A ha elementi di matrice non nulli solo se J 0 = J; J 0 = J § 1: I dettagli
possono essere trovati sul Condon e Shortley. Si hanno elementi di matrice non
nulli solo se Ji = Jk; Ji = Jk § 1 e Mi = Mk: Nell’accoppiamento LS questa
proprietà vale anche per ~ L;che è anch’esso un buon numero quantico, e allora
Li = Lk; Li = Lk § 1: In questo caso si ha, ovviamente, Si = Sk poiche Z non
dipende dallo spin. I soli elementi di matrice non nulli sono (per la dimostrazione
vedere il Condon e Shortley)
e quindi
h¸:J; M jZj ¸ 0 ; J ¡ 1; Mi = A(J; ¸; ¸ 0 ) p J 2 ¡ M 2
h¸:J; M jZj ¸ 0 ; J; Mi = B(J; ¸; ¸ 0 )M
h¸:J; M jZj ¸ 0 ; J + 1; Mi = C(J; ¸; ¸ 0 )
q
(J + 1) 2 + M 2
¢Ek = e 2 E 2
"Ã
X
¸0 jA(J; ¸; ¸0 )j 2
E¸J ¡ E¸0 !
¡J
2 2
¡ M
J¡1
¢ +
Ã
X jB(J; ¸; ¸
+
0 )j 2
!
M 2 +
+
¸ 0
à X
¸ 0
E¸J ¡ E¸ 0J
jC(J; ¸; ¸0 )j 2
!
¡(J 2 2
+ 1) + M ¢#
E¸J ¡ E¸ 0J+1
= E 2 ¡ ® ¡ ¯M 2¢ :
L’e¤etto Stark quadratico non dipende dal segno di M
Nelle somme il contributo più signi…cativo proviene dal più vicino livello di
parità opposta a quella del livello k: Per esempio, nel sodio, lo spostamento dell’energia
dello stato fondamentale è molto piccolo perchè i livelli più vicini di
parità opposta sono i livelli 2 2 P 1=2 e 2 2 P 3=2 e le di¤erenze di energia corrispondenti
E¸J ¡ E¸ 0j 0 sono grandi. Gli spostamenti dei livelli 2 P sono più consistenti
perchè essi sono perturbati non solo dallo stato fondamentale ma anche dai livelli
2 D più vicini in energia. Il doppietto del sodio viene separato in tre righe dal