Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 69
Per tener conto correttamente di questo e¤etto dovremmo sostituire alla trattazione
fatta nel paragrafo precedente V1 + V2 a V1: Comunque V1 + V2 è meno
simmetrico di V1: V1 + V2 commuta con ~ J; ma non con ~ L e nemmeno con ~ S .
Il problema di diagonalizzare la perturbazione nel sottospazio dell’autovalore imperturbato
è grandemente complicato dalla aggiunta del termine di spin-orbita.
Diviene relativamente semplice solo quando uno dei termini V1 o V2 è molto più
piccolo dell’altro.
Se V1 À V2 si può trascurare V2 in prima approssimazione. Ciascuna con-
…gurazione darà origine a una serie di livelli ciascuno dei quali corrisponde ad
una ben de…nita coppia (LS) e ciascuno dei quali ha una degenerazione pari a
(2L + 1)(2S + 1) ; gli autovettori corrispondenti sono particolari combinazioni
lineari di determinanti di Slater formati con gli stati individuali della con…gurazione.
Essi sono autovettori di ~ L 2 ; ~ S 2 ; LZ e SZ : V2 è poi trattato come una
piccola perturbazione nel sottospazio di ciascuno di questi livelli. A ciascuno dei
possibili valori di J(J = L + S; L + S ¡ 1; : : : ; jL ¡ Sj) corrisponde un autovalore
di V2 con degenerazione (2J + 1): Gli autovettori corrispondenti j°LSJMi
sono autovettori di ~ L 2 ; ~ S 2 ; ~ J 2 e JZ: Questo metodo di accoppiare i determinanti
di Slater della con…gurazione per formare gli autovettori del momento angolare
totale è chiamato accoppiamento Russel-Saunders o accoppiamento LS.
Se V1 ¿ V2 si può trascurare V1 in prima approssimazione. L’Hamiltoniana
diventa allora HC + V2 che è l’Hamiltoniana di particelle indipendenti che
si muovono nel potenziale V + ( ~ l ¢ ~s)»(r): Sia ~ j = ~ l + ~s il momento angolare
totale di ciascuna singola particella. Il ternine di spin-orbita ( ~ l ¢ ~s)»(r) rimuove
parzialmente la degenerazione degli stati di singola particella di momento angolare
orbitale non nullo separando ciascuno di esso nei due livelli j = l § 1=2:
Gli autovettori corrispondenti sono speci…cati dai numeri quantici (nljm): La
trattazione di HC + V2 è del tutto analoga a quella della sola HC ; ciascuna
con…gurazione di HC dà luogo ad un certo numero di con…gurazioni di HC + V2:
Una volta determinate queste con…gurazioni bisogna trattare V1 come una perturbazione
in ciascuna di esse. A ciascun autovalore di J corriponderanno uno
o più autovalori ciascuno dei quali è (2J + 1) volte degenere. Gli autovettori
corrispondenti sono autovettori di ~j 2 i e di ~ J 2 e JZ . Questo modo di accoppiare i
determinanti di Slater della con…gurazione dello stato fondamentale per formare
gli autovettori del momento angolare totale è chiamato accoppiamento jj.
La seguente tabella riassume questi due metodi
Accoppiamento LS
(V1) L ~
P
= i ~ li
~S = P
i ~si
¯ Accoppiamento jj
¯ (V2) ~ ji =
(V2) J ~ = L ~ + S~
¯
~ li + ~si
(V1) J ~
P
= i ~ji
L’importanza relativa di V2 cresce rapidamente con Z: Negli atomi leggeri e
di medio numero atomico V1 À V2 e l’accoppiamento LS è una approssimazione