Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 15
Per costruire questi coe¢cienti detti di Clebsh-Gordan (per le cui notevoli e
numerose proprietà rimandiamo ai trattati di Meccanica Quantistica) si possono
utilizzare gli operatori J+ e J¡ (per comodità misuriamo i momenti in unità ~)
J§ jJMi = (Jx § iJy) jJMi = p J (J + 1) ¡ M (M § 1) jJM § 1i:
Vogliamo mettere in atto questo metodo nel caso di due spin 1/2. Se consideriamo
lo stato di tripletto S = 1 con MS = 1; allora
j11i = j + +i
dove il primo segno è quello di sz = +1=2 per il primo spin e il secondo è quello
del secondo spin. Ora poichè S¡ = s1¡ + s2¡; applicando S¡ al primo membro e
s1¡ + s2¡ al secondo si ha
p 2 j10i = j ¡ +i + j + ¡i
e quindi
Una successiva applicazione fornisce
e quindi
j10i = 1 p 2 (j ¡ +i + j + ¡i)
2 j1 ¡ 1i = 2 j ¡ ¡i
j1 ¡ 1i = j ¡ ¡i:
Si noti che i tre stati di tripletto potevano anche essere generati a partire da j¡¡i
applicando S+ ( i coe¢cienti di C.G. che si ottengono cambiando il segno di M e
quelli di m1 e di m2 sono gli stessi). Lo stato di singoletto j00i deve essere dato
da una combinazione lineare dei vettori j¡+i e j+ ¡i che deve essere ortogonale
a quella che dà j10i; ne segue che
j00i = 1 p 2 (j ¡ +i ¡ j + ¡i) :
Una alternativa al modo di procedere esposto (che è quello che si segue in genere
per costruire i coe¢cienti di C.G.) consiste nel calcolare prima gli autostati dell’operatore
~ S 2 nel sottospazio la cui base è j++i; j¡¡i; j¡+i ; j+¡i: Sebbene non
è il modo di agire più diretto esso illustra bene l’origine del teorema di addizione.
Se si esprime S 2 come
S 2 = 3
2 + 2s1zs2z + s1+s2¡ + s1¡s2+