Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 229
L’alternarsi degli intervalli permessi di energia con quelli proibiti è in relazione
al modo in cui la localizzazione degli stati stazionari varia con l’energia. Rappresentiamo
i due fattori di Floquet (o di Bloch) λ1 e λ2 sul piano complesso in
funzione dell’energia. In E =0i due fattori sono eguali a +1. Facciamo crescere
l’energia fino a raggiungere l’estremo superiore della prima banda. I due fattori
λ1 =exp(ik (E) a) , λ2 =exp(−ik (E) a) sono i punti P e P 0 del cerchio di raggio
1. Si può dimostrare, per un generico potenziale periodico unidimensionale, che
se E appartiene ad una banda permessa k (E) è una funzione monotona crescente
o decrescente di E i cui valori appartengono all’intervallo (0, π/a) . Quando arriviamo
all’estremo superiore della banda k = π/a e λ1 = λ2 = −1. I punti P e P 0
hanno percorso tutto il cerchio. Quando E attraversa il primo gap i due fattori di
Floquet sono reali: λ1 < −1 è nel punto Q esterno al cerchio, mentre λ2 =1/λ1
ènelpuntoQ 0 internoalcerchio. AlcrescerediE,λ1 (E) passa attraverso un
minimo poi cresce di nuovo fino a −1. IpuntiQ e Q 0 prima si allontanano da −1,
per poi ritornarvi. Le soluzioni dell’equazione di Schrődinger sono fisicamente
inaccettabili perchè divergono o a +∞ oa−∞. Inizia poi, ancora da −1, la seconda
banda permessa di energia. Ora k (E) è una funzione decrescente di E e
da π/a scende a 0, i punti P e P 0 si muovono sul cerchio da −1 a 1. In 1 viene
raggiunto l’estremo superiore della seconda banda e inizia il secondo gap lungo
il quale i punti corrispondenti ai fattori di Floquet stanno sull’asse reale, prima
si allontanano da 1 per poi ritornarvi quando comincia la terza banda permessa.
Al crescere di E le bande permesse diventano sempre più ampie separate da gap