Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 213
Se applichiamo un’altro operatore di traslazione T
T
ma il prodotto T
equindi
³ ´
~R2
³ ´ ³ ´ ³
~R2 T ~R1 ξ σ; ~ ´ ³ ´ ³ ´ ³
R = C ~R2 C ~R1 ξ σ; ~ ´
R
³ ´ ³ ´
³
~R2 T ~R1 è esso stesso l’operatore di traslazione T ~R2 + ~ ´
R1
³
T ~R2 + ~ ´
R1 ξ
³
σ; ~ ´ ³
R = C ~R2 + ~ ´ ³
R1 ξ σ; ~ ´
R
³
C ~R2 + ~ ´
R1 = C
³ ´ ³ ´
~R2 C ~R1
per ogni ~ R1 ed ~ R2. L’autovalore C deve dipendere esponenzialmente da ~ R:
³ ´
C ~R = e ~µ· ~ R
(165)
dove il vettore ~µ caratterizza una particolare ξ.
La (165) implica che
ξ
³
σ, ~ ´
R = e ~µ· ~ R
ξ (σ, 0) (166)
se il vettore ~µ avesse una parte reale non nulla vi sarebbero direzioni nel cristallo
infinito il cui l’ampiezza del campo crescerebbe esponenzialmente. Per evitare
questo comportamento inammissibile ~µ deve avere la forma i ~ k dove ~ k è un vettore
reale. Indicando con ξ (σ, 0) semplicemente con ξ (σ) si ha che le autofunzioni del
problema dinamico debbono avere la forma
ξ
³
σ, ~ ´
R =ξ~ k (σ)ei~ k· ~ R Teorema di Bloch (167)
e le varie autofunzioni di Ω si ottengono variando il vettore ~ ³
k che specifica l’autovalore
exp i ~ k · ~ ´
³ ´
R dell’operatore di traslazione T ~R .E’ utile a questo punto
mettere in gioco il reticolo reciproco: se i vettori ~ k0 e ~ k differiscono di un vettore
di traslazione del reticolo reciproco ~ G
~ k 0 = ~ k + ~ G
allora ³
exp i ~ k 0 · ~ ´ ³
R =expi
~ G · ~ ´ ³
R exp i ~ k · ~ ´ ³
R =expi
~ k · ~ ´
R
equindi ~ k e ~ k0 ³ ´
individuano lo stesso autovalore dell’operatore T ~R . L’insieme
delle soluzioni ξ~ k del problema dinamico è lo stesso dell’insieme delle soluzioni
ξ~ k+ ~ G . Si evita la ridondanza restringendo ~ k alla cella primitiva del reticolo
reciproco, ovvero alla sua cella di prossimità e cioè alla prima zona di Brillouin.