Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 217
vicina, essendo ν il numero delle molle rimosse. Se il numero degli atomi sulla
superficie del cristallo è trascurabile rispetto al numero totale ,sivedechelo
spostamento delle frequenze sarà una frazione trascurabile dello spettro totale.
In definitiva possiamo dire che ρ (λ) dλ sarà dato correttamente dalle condizioni
al contorno periodiche se dλ contiene un numero di autovalori grande rispetto al
numero di atomi sulla superficie.
4.4 Vibrazioni nei solidi
Il modello più semplice che descrive le vibrazioni nei solidi è un reticolo unidimensionale
di masse e molle eguali, che mette in evidenza la periodicità spaziale
del cristallo. Osserviamo che la propagazione di onde elastiche in un reticolo
tridimensionale è molto più difficle da trattare, ma il modello unidimensionale
è applicabile a quelle particolari onde elastiche in cui interi piani di atomi del
cristallo si muovono in fase tra loro in direzione perpedicolare o parallela a quella
di propagazione a seconda che l’onda sia trasversa o longitudinale. La costante
elastica delle molle è allora fissata in modo da riprodurre le forze tra i piani.
Se N è il numero di atomi del reticolo unidimensionale il sistema ha N gradi di
libertà, con coordinate x0,x1,x2,...,xN−1 che misurano gli spostamenti di ciascuna
massa dalla posizione di equilibrio. Indicheremo con a il passo del reticolo.
Abbiamovistocomesiautilediscutereladinamicadiquestoreticolocomese
esso fosse infinito ma soggetto a condizioni al contorno periodiche
xn+N = xn
in questo modo l’invarianza traslazionale semplifica lo studio del moto.
L’energia cinetica del sistema è
K = 1
2 M
N−1 X
ν=0
µ 2
dxν
dt
mentre quella potenziale risulta
U = 1
2 γ
N−1 X
(xν − xν+1) 2 .
ν=0
Le equazioni del moto corrispondenti sono
(168)
M d2 xν
dt 2 = γ (xν+1 + xν−1 − 2xν) . (169)