Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 222
trasformando l’eq.(176) nel sistema
x2n = 1
µ
2π i 2n p
√ Xp exp −
N 2N
x2n+1 = 1
µ
2π i (2n +1) p
√ Yp exp − .
N 2N
Sostituendo le (179) nelle (177) si ha
(179)
M d2Xp dt2 = −2γXp +2γYpcos πp
(180)
N
m d2Yp dt2 = −2γYp +2γXpcos πp
N
e cercando soluzioni della forma exp (iωt) giungiamo all’equazione secolare per
ω2 ¯ 2γ − Mω
¯
2 −2γ cos (πp/N)
−2γ cos (πp/N) 2γ−mω2 ¯ =0
che ha come soluzioni
ω 2 = γ (m + M) ± [γ2 (M + m) 2 − 4γMmsin2 (πp/N)] 1/2
(181)
Mm
con
Yp
Xp
= 2γ − Mω2
2γ cos (πp/N)
= 2γ cos (πp/N)
2γ − mω 2
(182)
A p =0appaiono la minima e la massima frequenza. La minima frequenza è zero
e tutte le masse si muovono all’unisono. la massima frequenza è data da
ω 2 µ
1 1
max =2γ + (183)
M m
e tutte le masse M si muovono all’unisono contro tutte le masse m con ampiezze
inversamente proporzionali alle masse Y0/X0 = −M/m.
A p = N/2 si ha la minima frequenza relativa alla scelta del segno + nella
(181)
ω 2 1
= 2γ
m
e le masse grandi M restano ferme mentre le masse m si muovono alternativamente
avanti e dietro. Sempre a p = N/2 si ha la massima frequenza relativa alla
scelta del segno − nella (181)
ω 2 2
= 2γ
M
con il ruolo delle masse M e m scambiato. Poichè ω 2 1 > ω 2 2 le frequenze relative ai
segni + e − sono separate da una gap tanto più grande quanto più diverse sono
le masse.