Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 9
costituiscono descrizioni equivalenti dello stesso stato dinamico dando luogo a
quella che abbiamo detto degenerazione di scambio. L’evoluzione nel tempo conserva
i coe¢cienti ai poiche’ l’Hamiltoniana del sistema H commuta con i Pi
µ
ª(»1; »2; : : : ; »N ; t + dt) = 1 + dt
i~ H
1
pN!
= 1
p N!
= 1
p N!
essendo [H; Pi] = 0:
XN
!
aiPi
i=1
XN
!
i=1
XN
!
i=1
aiPiª0(»1; »2; : : : ; »N ; t) =
µ
1 + dt
i~ H
ª0(»1; »2; : : : ; »N; t) =
aiPiª0(»1; »2; : : : ; »N; t + dt)
Come avveniva con due particelle la densità di probabilita’ che la prima particella
abbia le variabili dinamiche »1; la seconda »2, ..., e la N-esima »N è data
da
XN
!
P (»1; »2; : : : ; »N) = jPiª(»1; »2; : : : ; »N ) j 2
i=1
e questa, a meno del caso eccezionale in cui tutte le particelle si trovino in regioni
distinte dello spazio, dipende dai coe¢cienti ai; in contrasto con la sua natura di
osservabile …sica per le particelle identiche. L’ambiguità è risolta dal postulato
di simmetrizzazione:
La funzione d’onda di in insieme di N particelle identiche ª(»1; »2; : : : ; »N)
è totalmente simmetrica o totalmente antimmetrica rispetto alla scambio di una
qualunque coppia di »:
Come nel caso di due particelle esso corrisponde ad una scelta univoca dei
coe¢cienti ai:Si può dimostrare che c’è un modo unico di ottenere la ª totalmente
simmetrica e che consiste nel prendere tutti i coe¢cienti eguali a 1.
Per ottenere la ª totalmente antisimmetrica si deve utilizzare la parità delle
permutazioni. Infatti le permutazioni possono essere divise in due classi: quelle
pari in cui con un numero pari di scambi tra coppie si riottiene la permutazione
fondamentale, e le dispari per cui occorre un numero dispari di scambi di coppie
per ritornare alla fondamentale.Si dimostra che il solo modo di ottenere una ª
totalmente antisimmetrica consiste nel prendere ai = +1 per le parmutazioni
pari, e ai = ¡1 per quelle dispari .
Da una generica funzione ª0(»1; »2; : : : ; »N ) si generano univocamente quella
totalmente simmetrica ª (S ) quella totalmente antisimmetrica ª (A) :
ª (S) Ã !
1 XN
!
(»1; »2; : : : ; »N) = pN! ª0(»1; »2; : : : ; »N ) = S ª0(»1; »2; : : : ; »N)
i=1
Pi